Свойства Ab-категорий « Математик без извинений

Есть ряд вещей, которые мы можем сразу сказать о -категориях, которые мы определили в прошлый раз. В соответствии с обычной практикой мы стираем различие между абелевой группой и лежащим в ее основе множеством.

Во-первых, любая -категория имеет нулевые морфизмы. То есть существует специальный морфизм между любыми двумя объектами, который при составлении с любым другим морфизмом дает специальный морфизм в соответствующем хом-множестве. На самом деле, поскольку каждое хом-множество является абелевой группой, оно имеет аддитивную единицу. Тогда по любому у нас есть , какой состав надо отправить . Нулевые морфизмы — это в точности нулевые морфизмы!

Для любого объекта исходное множество уже является абелевой группой. Но композиция также помещает структуру моноида в это множество, а условие линейности говорит, что эти два элемента совместимы, превращая моноид эндоморфизма в кольцо эндоморфизмов. На самом деле каждое кольцо является кольцом эндоморфизмов.

Еще когда мы впервые определяли категории, мы заметили, что категория с одним объектом — это то же самое, что и моноид. А кольцо — это просто абелева группа с совместимой моноидной структурой на ней. Так что -категория с одним объектом — это то же самое, что и кольцо! На самом деле многие исследования -категорий можно рассматривать как расширение теории колец от этого частного случая к более общему. Между прочим, вы должны сразу заметить, что, когда мы рассматриваем кольца и категории, подобные этой, гомоморфизм колец из в — это то же самое, что -функтор между категориями.

Помните, мы говорили о прямых суммах модулей по заданному кольцу? Ну то же самое происходит здесь. Мы определяем «побочный продукт» конечного набора объектов как объект вместе с двумя семействами стрелок:

удовлетворяющие соотношениям

• если

Из тех же рассуждений, что и при рассмотрении прямых сумм, мы видим, что побочный продукт удовлетворяет универсальным свойствам как категорического продукта, так и побочного продукта, и, наоборот, что категориальный продукт или побочный продукт подразумевает существование стрелок побочного продукта.

Обратите внимание, что мы не делаем никаких заявлений о том, что такой побочный продукт на самом деле существует как в нашей категории, но когда это происходит, это одновременно продукт и побочный продукт.

В качестве частного случая можно рассмотреть побочный продукт пустой коллекции объектов. Это будет как продукт, так и побочный продукт пустой совокупности объектов, если она существует, и, таким образом, будет нулевым объектом. Конечно, он может существовать, а может и не существовать.

Даже если в нашей категории нет нулевого объекта, у нас все равно есть вышеупомянутые нулевые морфизмы, и поэтому мы все еще можем говорить о ядрах и коядрах. Ядром морфизма является уравнитель, а его коядром — соуравнитель. На самом деле жизнь стала еще лучше, когда мы обогатились: каждый эквалайзер — это ядро, а каждый соэквалайзер — это коядро. Действительно, и аналогично для соэквалайзеров. Опять же, мы ничего не говорим о том, существуют ли на самом деле такие ядра или коядра.

Вместе эти факты многое говорят о поведении ограничений в -категориях. Бипродукты говорят нам о конечных произведениях и копроизведениях, тогда как ядра морфизмов говорят нам обо всех различных эквалайзерах. И тогда Теорема существования для пределов говорит нам, что каждый конечный предел может быть построен из конечных произведений и эквалайзеров, в то время как каждый конечный копредел может быть построен из конечных копроизведений и коэквалайзеров. Итак, если наша -категория имеет все побочные продукты, все ядра и все коядра, то она имеет все конечные пределы!

Добавим еще одно маленькое свойство, которое упростит нашу жизнь. Мы знаем, что ядра — это мономорфизмы, а коядра — это эпиморфизмы. Если вдобавок к наличию всех побочных произведений, ядер и коядер мы предположим, что каждый мономорфизм на самом деле является ядром некоторой стрелки в нашей категории и что каждый эпиморфизм на самом деле является коядром некоторой стрелки, то мы будем называть нашу -категорию абелевой категорией. .

Вы должны убедиться, что для любого кольца категория всех левых -модулей удовлетворяет всем этим свойствам и, следовательно, является абелевой категорией. Это абелевы категории, с которых началась вся теория гомологической алгебры, которая в значительной степени является изучением общих абелевых категорий.

Нравится:

Нравится Загрузка…

17 сентября 2007 г. — Автор: Джон Армстронг | Теория категорий

Ab-категории «Непримиримый математик»

Математика для заинтересованных аутсайдеров

Ab-Категории

Теперь, когда мы в абстракции многое сделали с обогащенными категориями, давайте рассмотрим очень полезный частный случай категорий, обогащенных свыше, — категорию абелевых групп.

Мы знаем, что это моноидальная категория с тензорным произведением абелевых групп в качестве ее моноидальной структуры и свободной абелевой группой в качестве моноидальной единицы. Еще лучше, чтобы он был симметричным и даже закрытым. То есть для любых двух абелевых групп и у нас есть изоморфизм , и существует естественная структура абелевой группы на множестве гомоморфизмов, удовлетворяющих присоединению .

Далее, является полным и сополным. Все вместе это означает, что это отличный кандидат в качестве базовой категории для создания расширенных категорий. Конечно, они будут называться -категориями.

Итак, давайте прочитаем определения. -категория имеет набор объектов, а между объектами и есть абелева хом-группа.

Для каждого объекта у нас есть гомоморфизм абелевых групп, который выделяет «тождественный морфизм» из в себя на уровне лежащих в его основе множеств. Помните, что мы больше не думаем об абелевой группе как о наличии элементов — только ее базовое множество имеет элементы, а базовое множество абелевой группы — это множество гомоморфизмов абелевой группы.

Даны три объекта, у нас есть стрелка «композиция» в : . Это ассоциативно, и тождественный морфизм действует как тождество в том смысле, что соответствующие диаграммы коммутируют.

Конечно, поскольку стрелки композиции являются морфизмами, они являются линейными функциями на каждом входе.

-функтор между -категориями и определяется функцией от объектов к объектам и для каждой пары объектов гомоморфизмом абелевых групп . Для коммутации требуются две диаграммы, говорящие о том, что эти линейные функции сохраняют функции композиции и идентичности.

Естественная трансформация — одна из двух форм. В одном нам дано два -функтора и . Тогда натурал — это набор линейных функций, коммутирующих одну диаграмму. В другом нам дан объект и бифунктор. Тогда это набор линейных функций, коммутирующих другую диаграмму.

Вместе -категории, -функторы между ними и -естественные преобразования (первого рода) образуют 2-категорию. Мы можем соединить вне-категории и получить категорию продукта (на самом деле мы уже сделали однажды выше), и мы можем взять противоположную категорию. Таким образом, -категории образуют симметричную моноидальную 2-категорию с инволюцией двойственности.

Здесь очень много структур, но в конечном итоге все сводится к тому, что «все хом-множества имеют структуру абелевых групп, и все в поле зрения является -линейным». И это обычное определение, от которого я решил отказаться, когда начал работать с расширенными категориями.

Нравится:

Нравится Загрузка…

14 сентября 2007 г. — Автор: Джон Армстронг | Теория категорий

« Предыдущая | Следующий »

• Последние сообщения

  • Подмодуль инвариантов
  • Больше новых модулей из старых
  • Новые модули из старых
  • Приводимые модули
  • Неприводимые модули
  • Модули Алгебры Ли
  • Все выводы полупростых алгебр Ли являются внутренними
  • Разложение полупростых алгебр Ли
  • Назад к примеру
  • Радикал убийственной формы
  • Форма убийства
  • Критерий Картана
  • Следовый критерий нильпотенции
  • Использование разложения Жордана-Шевалле
  • Разложение Жордана-Шевалле (доказательство)

• Блогролл

• Арт.

  
  • Эскизы топологии

• Астрономия

  • Плохая астрономия
  • Начинается на ура

• Информатика

  • Хорошая математика, плохая математика
  • Штетл-Оптимизированный
  • Вселенная дискурса

• Образование

  • Меловая пыль заставляет меня чихать
  • Непрерывность
  • ф(т)
  • На полпути
  • Математическое безумие Мэриленда
  • Математика Будь храбрым
  • Математика под микроскопом
  • Mathspig
  • Очень трудные суммы
  • Стивен Строгац
  • Музей математики
  • Призрачный профессор
  • Почему мальчики терпят неудачу

• Математика

  • Диалог о бесконечности
  • Особая непрерывность
  • Арс Математика
  • Картер и Сложность
  • Любопытные рассуждения
  • Борьба с сопротивлением материи
  • Бог играет в кости
  • Хорошая математика, плохая математика
  • Блог Гауэрса
  • Gyre&Gimble
  • С внутренним узлом
  • Низкоразмерная топология
  • Математика и физика
  • Математика под микроскопом
  • Блог Мичи
  • Очень трудные суммы
  • Строгие мелочи
  • Секретный семинар по ведению блога
  • Эскизы топологии
  • Стивен Строгац
  • Сумидиот
  • Семинар обо всем
  • Музей математики
  • Кафе n-категории
  • Вселенная дискурса
  • Теоретический атлас
  • Находки этой недели по математической физике
  • Топологические размышления
  • Что нового

• Я

  • DrMathochist
  • Непростительный программист

• Философия

  • Диалог о бесконечности
  • Узлы «если-то»
  • Плектикс
  • Кафе n-категории

• Физика

  • Гравитация и Левитация
  • Воображаемый потенциал
  • Даже не ошибся
  • Разглагольствования разгневанного физика
  • Наука после затмения
  • Начинается на ура
  • Язык плохой физики
  • Кафе n-категории

• Политика

  • Плохая астрономия
  • На полпути
  • Почему мальчики терпят неудачу

• Наука

  • Плохая астрономия
  • Плектикс
  • Наука4Взрослые

• Обратная связь

  Есть что сказать? Анонимные вопросы, комментарии и предложения на Formspring.