Как найти сопротивление воздуха: Как определить сопротивление воздуха? — Физблог — Шины для спецтехники, шины для погрузчика

Содержание

как найти, в каких единицах выражается, от каких параметров зависит

Что такое сила сопротивления

При совершенно любом движении будет фиксироваться появление между поверхностями тел или в среде, где оно осуществляется, сил сопротивления. Второе свойственное им название — силы трения.

Определение

Сила трения — сила, которая появляется в момент передвижения одного тела вдоль другого либо в какой-то среде, ведущая к замедлению действия.

Препятствие движению объясняется тем, что силы трения имеют противоположное направление, и в момент, когда движущая сила и силы сопротивления уравновесятся, скорость станет равна 0.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Схематически действие силы трения можно представить на рисунке:

Изображенное здесь тело массой m лежит на ровной поверхности, и на него действуют сила тяжести и уравновешивающая ее сила опоры (N). Направления этих двух сил противоположные, однако, обе — перпендикулярны поверхности.

Сила опоры по своей величине определяется по формуле:

\(N=m\times g\)

С позиций механики понятно, что для того, чтобы сдвинуть это тело с места, необходимо приложить усилие (P), превосходящее силу трения (F).

Определение

Основателем закона трения считается француз Гийом Амонтон. Согласно его постулатам, F_тр пропорциональна давлению, которое тело оказывает на опору либо на другое тело. Кроме этого, она определяется физическими свойствами контактирующих материалов, но не зависит от величины поверхности соприкосновения.

Как любая другая, сила трения измеряется в Ньютонах (Н).

Разновидности сил сопротивления

Причинами возникновения силы трения являются:

неровный характер соприкасающихся поверхностей;
действие межмолекулярных связей (применимо для гладких поверхностей).

В зависимости от этих факторов, а также с учетом характера движения силы сопротивления бывают:

Силой качения, которая находится в зависимости от физических свойств опоры, скорости движения, сопротивления воздуха. В формулу для определения силы качения вводится коэффициент f, который уменьшается при росте температуры и давления.
Сила сопротивления воздуха (если идет лобовое взаимодействие). Причина ее появления — разница давлений. Чем выше вихреобразование, тем выше этот показатель. Вихреобразование же, в свою очередь, зависит от формы самого движущегося тела.

Пример

Передняя часть движущегося тела будет всегда испытывать большее сопротивление воздуха. При закруглениях спереди и сзади плоскостенного тела сопротивление уменьшается на 72%.

Существует понятие электрического сопротивления, под которым понимается свойство проводника препятствовать прохождению тока. Величина, с которой это происходит, равняется частному от деления напряжения на концах к силе тока, протекающему в последовательной цепи.

Как определить силу сопротивление воздуха

При движении тела на него действует лобовое сопротивление воздуха (обозначение — Р_вл).2\div2\)

где C_x — коэффициент обтекаемости (при лобовом сопротивлении воздуха), p — плотность среды (в данной ситуации — воздуха), F_в — площадь миделевого сечения.

Наибольшая концентрация силы сопротивления наблюдается в точке, которая не совпадает с центром массы тела. Это — центр парусности.

\(P_j=m\times dV\div dt\)

В этой формуле m обозначает массу автомобиля, а частное изменения скорости по истечению времени — ускорение центра инерции (или центра масс).

Изменение силы в зависимости от скоростей

На малых скоростях движения сила сопротивления всегда определяется вязкостью жидкости, физическими характеристиками движения (в частности — скоростью), размерами самого тела.

Движение при больших скоростях имеет свои особенности. Например, в случае жидкой либо воздушной среды закономерности трения вязкости не работают. Даже при скоростях в 1 см/с их можно применить только для тел, размеры которых измеряются в мм.2\)

где p — плотность среды, L — размеры тела, V — скорость движения.

Чему равна работа силы сопротивления воздуха формула. Движение тела в поле тяжести с учётом сопротивления воздуха. Сопротивлением воздуха заинтересовались артиллеристы

Решение.

Для решения задачи рассмотрим физическую систему «тело – гравитационное поле Земли». Тело будем считать материальной точкой, а гравитационное поле Земли — однородным. Выделенная физическая система является незамкнутой, т.к. во время движения тела взаимодействует с воздухом.
Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, то изменение полной механической энергии системы равняется работе силы сопротивления воздуха, т.е. ∆ E = A c .

Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на поверхности Земли. Единственной внешней силой в отношении системы «тело – Земля» является сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх. Начальная энергия системы E 1 , конечная E 2 .

Работа силы сопротивления A.

Т.к. угол между силой сопротивления и перемещением равен 180° , то косинус равен -1, поэтому A = — F c h . Приравняем A.

Рассматриваемую незамкнутую физическую систему можно также описать теоремой от изменении кинетической энергии системы взаимодействующих между собой объектов, согласно которой изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной внешними и внутренними силами при ее переходе из начального состояния в конечное. Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, а внутренней – сила тяжести. Следовательно ∆ E к = A 1 + A 2 , где A 1 = mgh – работа силы тяжести, A 2 = F c hcos 180° = — F c h – работа силы сопротивления; ∆ E = E 2 – E 1 .

Это творческое задание для мастер-класса по информатике для школьников при ДВФУ.
Цель задания — выяснить, как изменится траектория тела, если учитывать сопротивление воздуха. Также необходимо ответить на вопрос, будет ли дальность полёта по-прежнему достигать максимального значения при угле бросания в 45°, если учитывать сопротивление воздуха.

В разделе «Аналитическое исследование» изложена теория. Этот раздел можно пропустить, но он должен быть, в основном, понятным для вас, потому что бо льшую часть из этого вы проходили в школе.
В разделе «Численное исследование» содержится описание алгоритма, который необходимо реализовать на компьютере. Алгоритм простой и краткий, поэтому все должны справиться.

Аналитическое исследование

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. В начальный момент времени тело массой m находится в начале координат. Вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз и имеет координаты (0, —

g ).
— вектор начальной скорости. Разложим этот вектор по базису: . Здесь , где — модуль вектора скорости, — угол бросания.

Запишем второй закон Ньютона: .
Ускорение в каждый момент времени есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени: .

Следовательно, 2-й закон Ньютона можно переписать в следующем виде:
, где — это равнодействующая всех сил, действующая на тело.
Так как на тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, то
.

Мы будем рассматривать три случая:
1) Сила сопротивления воздуха равна 0: .
2) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна скорости: .
3) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна квадрату скорости: .

Вначале рассмотрим 1-й случай.

В этом случае , или .

Из следует, что (равноускоренное движение).
Так как (r — радиус-вектор), то .
Отсюда .
Эта формула есть не что иное, как знакомая вам формула закона движения тела при равноускоренном движении.
Так как , то .
Учитывая, что и , получаем из последнего векторного равенства скалярные равенства:

Проанализируем полученные формулы.
Найдём время полёта тела. Приравняв y к нулю, получим

Дальность полёта равна значению координаты x в момент времени t 0:

Из этой формулы следует, что максимальная дальность полёта достигается при .
Теперь найдём уравнение трактории тела . Для этого выразим t через x

И подставим полученное выражение для t в равенство для y .

Полученная функция y (x ) — квадратичная функция, её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Про движение тела, брошенного под углом к горизонту (без учёта сопротивления воздуха), рассказывается в этом видеоролике.

Теперь рассмотрим второй случай: .

Второй закон приобретает вид ,
отсюда .
Запишем это равенство в скалярном виде:

Мы получили два линейных дифференциальных уравнения .
Первое уравнение имеет решение

В чём можно убедиться, подставив данную функцию в уравнение для v x и в начальное условие .
Здесь e = 2,718281828459… — число Эйлера .
Второе уравнение имеет решение

Так как , , то при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, в отличие от случая 1, когда скорость неограниченно увеличивается.
В следующем видеоролике говорится, что парашютист сначала движется ускоренно, а потом начинает двигаться равномерно (даже до раскрытия парашюта).

Найдём выражения для x и y .
Так как x (0) = 0,
y (0) = 0, то

Нам осталось рассмотреть случай 3, когда .
Второй закон Ньютона имеет вид
, или .
В скалярном виде это уравнение имеет вид:

Это система нелинейных дифференциальных уравнений . Данную систему не удаётся решить в явном виде, поэтому необходимо применять численное моделирование.

Численное исследование

В предыдущем разделе мы увидели, что в первых двух случаях закон движения тела можно получить в явном виде. Однако в третьем случае необходимо решать задачу численно. При помощи численных методов мы получим лишь приближённое решение, но нас вполне устроит и небольшая точность. (Число π или квадратный корень из 2, кстати, нельзя записать абсолютно точно, поэтому при расчётах берут какое-то конечное число цифр, и этого вполне хватает.)

Будем рассматривать второй случай, когда сила сопротивления воздуха определяется формулой. Отметим, что при k = 0 получаем первый случай.

Скорость тела подчиняется следующим уравнениям:

В левых частях этих уравнений записаны компоненты ускорения .
Напомним, что ускорение есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени.
В правых частях уравнений записаны компоненты скорости. Таким образом, данные уравнения показывают, как скорость изменения скорости связана со скоростью.

Попробуем найти решения этих уравнений при помощи численных методов. Для этого введём на временной оси сетку : выберем число и будем рассматривать моменты времени вида : .

Наша задача — приближённо вычислить значения в узлах сетки.

Заменим в уравнениях ускорение (мгновенную скорость изменения скорости) на среднюю скорость изменения скорости, рассматривая движение тела на промежутке времени :

Теперь подставим полученные аппроксимации в наши уравнения.

Полученные формулы позволяют нам вычислить значения функций в следующем узле сетки, если известны значения этих функций в предыдущем узле сетки.

При помощи описанного метода мы можем получить таблицу приближённых значений компонент скорости.

Как найти закон движения тела, т.е. таблицу приближённых значений координат x (t ), y (t )? Аналогично!
Имеем

Значение vx[j] равняется значению функции , для других массивов аналогично.
Теперь остаётся написать цикл, внутри которого мы будем вычислять vx через уже вычисленное значение vx[j], и с остальными массивами то же самое. Цикл будет по j от 1 до N .
Не забудьте инициализировать начальные значения vx, vy, x, y по формулам , x 0 = 0, y 0 = 0.

В Паскале и Си для вычисления синуса и косинуса имеются функции sin(x) , cos(x) . Обратите внимание, что эти функции принимают аргумент в радианах.

Вам необходимо построить график движения тела при k = 0 и k > 0 и сравнить полученные графики. Графики можно построить в Excel.
Отметим, что расчётные формулы настолько просты, что для вычислений можно использовать один только Excel и даже не использовать язык программирования.
Однако в дальнейшем вам нужно будет решить задачу в CATS, в которой нужно вычислить время и дальность полёта тела, где без языка программирования не обойтись.

Обратите внимание, что вы можете протестировать вашу программу и проверить ваши графики, сравнив результаты вычислений при k = 0 с точными формулами, приведёнными в разделе «Аналитическое исследование».

Поэкспериментируйте со своей программой. Убедитесь в том, что при отсутствии сопротивления воздуха (k = 0) максимальная дальность полёта при фиксированной начальной скорости достигается при угле в 45°.
А с учётом сопротивления воздуха? При каком угле достигается максимальная дальность полёта?

На рисунке представлены траектории тела при v 0 = 10 м/с, α = 45°, g = 9,8 м/с 2 , m = 1 кг, k = 0 и 1, полученные при помощи численного моделирования при Δt = 0,01.

Вы можете ознакомиться с замечательной работой 10-классников из г. Троицка, представленной на конференции «Старт в науку» в 2011 г. Работа посвящена моделированию движения теннисного шарика, брошенного под углом к горизонту (с учетом сопротивления воздуха). Применяется как численное моделирование, так и натурный эксперимент.

Таким образом, данное творческое задание позволяет познакомиться с методами математического и численного моделирования, которые активно используются на практике, но мало изучаются в школе. К примеру, данные методы использовались при реализации атомного и космического проектов в СССР в середине XX века.

Силами сопротивления называются силы, препятствующие движению автомобиля. Эти силы направлены против его движения.

При движении на подъеме, характеризуемом высотой H п, длиной проекции В п на горизонтальную плоскость и углом подъема дороги α, на автомобиль действуют следующие силы сопротивления (рис. 3.12): сила сопротивления качению Р к , равная сумме сил сопротивления качению передних (Р К|) и задних (Р К2) колес, сила сопротивления подъему Р п , сила сопротивления воздуха Д и сила сопротивления разгону Р И . Силы сопротивления качению и подъему связаны с особенностями дороги. Сумма этих сил называется силой сопротивления дороги Р Д .

Рис. 3.13. Потери энергии на внутреннее трение в шине:

а — точка, соответствующая максимальным значениям нагрузки и прогиба шины

Сила сопротивления качению

Возникновение силы сопротивления качению при движении обусловлено потерями энергии на внутреннее трение в шинах, поверхностное трение шин о дорогу и образование колеи (на деформируемых дорогах).О потерях энергии на внутреннее трение в шине можно судить по рис. 3.13, на котором приведена зависимость между вертикальной нагрузкой на колесо и деформацией шины — ее прогибом f ш .

При движении колеса по неровной поверхности шина, испытывая действие переменной нагрузки, деформируется. Линия αО, которая соответствует возрастанию нагрузки, деформирующей шину, не совпадает с линией аО, отвечающей снятию нагрузки. Площадь области, заключенной между указанными кривыми, характеризует потери энергии на внутреннее трение между отдельными частями шины (протектор, каркас, слои корда и др.).

Потери энергии на трение в шине называются гистерезисом, а линия ОαО — петлей гистерезиса.

Потери на трение в шине необратимы, так как при деформации она нагревается и из нее выделяется теплота, которая рассеивается в окружающую среду. Энергия, затрачиваемая на деформацию шины, не возвращается полностью при последующем восстановлении ее формы.

Сила сопротивления качению Р к достигает наибольшего значения при движении по горизонтальной дороге. В этом случае

где G — вес автомобиля, Н; f — коэффициент сопротивления качению.

При движении на подъеме и спуске сила сопротивления качению уменьшается по сравнению с Р к на горизонтальной дороге, и тем значительнее, чем они круче. Для этого случая движения сила сопротивления качению

где α — угол подъема, °.

Зная силу сопротивления качению, можно определить мощность, кВт,

затрачиваемую на преодоление этого сопротивления:

где v -скорости автомобиля,м/c 2

Для горизонтальной дороги соs0°=1 и

З
ависимости силы сопротивления качениюР к и мощности N К от скорости автомобиля v показаны на рис. 3.14

Коэффициент сопротивления качению

Коэффициент сопротивления качению существенно влияет на потери энергии при движении автомобиля. Он зависит от многих конструктивных и эксплуатационных

Рис 3.15. Зависимости коэффициента сопротивления качению от

Скорости движения (а), давления воздуха в шине (б) и момента, передаваемого через колесо (в)

факторов и определяется экспериментально. Его средние значения для различных дорог при нормальном давлении воздуха в шине составляют 0,01 …0,1.Рассмотрим влияние различных факторов на коэффициент сопротивления качению.

Скорость движения . При изменении скорости движения в интервале 0…50 км/ч коэффициент сопротивления качению изменяется незначительно и его можно считать постоянным в указанном диапазоне скоростей.

При повышении скорости движения за пределами указанного интервала коэффициент сопротивления качению существенно увеличивается (рис. 3.15, а) вследствие возрастания потерь энергии в шине на трение.

Коэффициент сопротивления качению в зависимости от скорости движения можно приближенно рассчитать по формуле

где — скорость автомобиля, км/ч.

Тип и состояние покрытия дороги. На дорогах с твердым покрытием сопротивление качению обусловлено главным образом деформациями шины.

При увеличении числа дорожных неровностей коэффициент сопротивления качению возрастает.

На деформируемых дорогах коэффициент сопротивления качению определяется деформациями шины и дороги. В этом случае он зависит не только от типа шины, но и от глубины образующейся колеи и состояния грунта.

Значения коэффициента сопротивления качению при рекомендуемых уровнях давления воздуха и нагрузки на шину и средней скорости движения на различных дорогах приведены ниже:

Асфальто- и цементобетонное шоссе:

в хорошем состоянии………………………………. 0,007…0,015

в удовлетворительном состоянии…………… 0,015…0,02

Гравийная дорога в хорошем состоянии…. 0,02…0,025

Булыжная дорога в хорошем состоянии…… 0,025…0,03

Грунтовая дорога сухая, укатанная………….. 0,025…0,03

Песок………………………………………………………….. 0,1…0,3

Обледенелая дорога, лед…………………………. 0,015…0,03

Укатанная снежная дорога……………………….. 0,03…0,05

Тип шины. Коэффициент сопротивления качению во многом зависит от рисунка протектора, его износа, конструкции каркаса и качества материала шины. Изношенность протектора, уменьшение числа слоев корда и улучшение качества материала приводят к падению коэффициента сопротивления качению вследствие снижения потерь энергии в шине.

Давление воздуха в шине . На дорогах с твердым покрытием при уменьшении давления воздуха в шине коэффициент сопротивления качению повышается (рис. 3.15, б). На деформируемых дорогах при снижении давления воздуха в шине уменьшается глубина колеи, но возрастают потери на внутреннее трение в шине. Поэтому для каждого типа дороги рекомендуется определенное давление воздуха в шине, при котором коэффициент сопротивления качению имеет минимальное значение.

. При увеличении вертикальной нагрузки на колесо коэффициент сопротивления качению существенно возрастает на деформируемых дорогах и незначительно — на дорогах с твердым покрытием.

Момент, передаваемый через колесо . При передаче момента через колесо коэффициент сопротивления качению возрастает (рис. 3.15, в) вследствие потерь на проскальзывание шины в месте ее контакта с дорогой. Для ведущих колес значение коэффициента сопротивления качению на 10… 15 % больше, чем для ведомых.

Коэффициент сопротивления качению оказывает существенное влияние на расход топлива и, следовательно, на топливную экономичность автомобиля. Исследования показали, что даже небольшое уменьшение этого коэффициента обеспечивает ощутимую экономию топлива. Поэтому неслучайно стремление конструкторов и исследователей создать такие шины, при использовании которых коэффициент сопротивления качению будет незначительным, но это весьма сложная проблема.

При движении любого предмета по поверхности или в воздухе возникают силы, препятствующие этому. Их называют силами сопротивления или трения. В этой статье мы расскажем, как найти силу сопротивления, и рассмотрим факторы, влияющие на нее.

Для определения силы сопротивления необходимо воспользоваться третьим законом Ньютона. Эта величина численно равна силе, которую нужно приложить, чтобы заставить равномерно двигаться предмет по ровной горизонтальной поверхности. Это можно сделать при помощи динамометра. Сила сопротивления вычисляется по формуле F=μ*m*g. Согласно этой формуле, искомая величина прямо пропорциональна массе тела. Стоит учесть, что для правильного подсчета необходимо выбрать μ – коэффициент, зависящий от материала, из которого изготовлена опора. Принимают во внимание и материал предмета. Этот коэффициент выбирается по таблице. Для расчета используется постоянная g, которая равна 9,8 м/с2. Как рассчитать сопротивление, если тело движется не прямолинейно, а по наклонной плоскости? Для этого в первоначальную формулу нужно ввести cos угла. Именно от угла наклона зависит трение и сопротивление поверхности тел к движению. Формула для определения трения по наклонной плоскости будет иметь такой вид: F=μ*m*g*cos(α). Если тело движется на высоте, то на него действует сила трения воздуха, которая зависит от скорости движения предмета. Искомую величину можно рассчитать по формуле F=v*α. Где v – скорость движения предмета, а α – коэффициент сопротивления среды. Эта формула подходит исключительно для тел, которые передвигаются с небольшой скоростью. Для определения силы сопротивления реактивных самолетов и других высокоскоростных агрегатов применяют другую – F=v2*β. Для расчета силы трения высокоскоростных тел используют квадрат скорости и коэффициент β, который рассчитывается для каждого предмета отдельно. При движении предмета в газе или жидкости при расчете силы трения необходимо учитывать плотность среды, а также массу и объем тела. Сопротивление движению существенно снижает скорость поездов и автомобилей. Причем на движущие предметы действует два вида сил – постоянные и временные. Общая сила трения представлена суммой двух величин. Для снижения сопротивления и повышения скорости машины конструкторы и инженеры изобретают разнообразные материалы со скользящей поверхностью, от которой воздух отталкивается. Именно поэтому передняя часть скоростных поездов имеет обтекаемую форму. Рыбы очень быстро движутся в воде благодаря обтекаемому телу, покрытому слизью, которая снижает трение. Не всегда сила сопротивления отрицательно сказывается на движении машин. Чтобы вытащить автомобиль из грязи, необходимо под колеса насыпать песок или щебень. Благодаря увеличению трения авто отлично справляется с болотистой почвой и грязью.

Сопротивление движения в воздухе используется во время прыжков с парашютом. В результате возникающего трения между куполом и воздухом скорость движения парашютиста снижается, что позволяет без ущерба для жизни заниматься парашютным спортом.

Воздушное сопротивление. Сила сопротивления воздуха Работа силы сопротивления воздуха формула равна

Воздушное сопротивление

Первоклассный бегун, состязающийся на скорость, вовсе не стремится в начале бега быть впереди соперников. Напротив, он старается держаться позади них; только приблизившись к финишу, он проскальзывает мимо других бегунов и приходит к конечному пункту первым. Для чего избирает он такой маневр? Почему ему выгоднее бежать позади других?

Причина та, что при быстром беге приходится затрачивать немало работы для преодоления сопротивления воздуха. Обыкновенно мы не думаем о том, что воздух может служить помехой нашему движению: расхаживая по комнате или прогуливаясь по улице, мы не замечаем, чтобы воздух стеснял наши движения. Но это только потому, что скорость нашей ходьбы невелика. При быстром движении воздух уже заметно мешает нам двигаться. Кто ездит на велосипеде, тот хорошо знает, что воздух мешает быстрой езде. Недаром гонщик пригибается к рулю своей машины: он этим уменьшает величину той поверхности, на которую напирает воздух. Вычислено, что при скорости 10 км в час велосипедист тратит седьмую часть своих усилий на то, чтобы бороться с воздухом; при скорости 20 км на борьбу с воздухом уходит уже четвертая доля усилий ездока. При еще большей скорости приходится расходовать на преодоление воздушного сопротивления третью долю работы и т. д.

Теперь вам станет понятно загадочное поведение искусного бегуна. Помещаясь позади других, менее опытных бегунов, он освобождает себя от работы по преодолению воздушного сопротивления, так как эту работу выполняет за него бегущий впереди. Он сберегает свои силы, пока не приблизится к цели настолько, что станет наконец выгодно обогнать соперников.

Маленький опыт разъяснит вам сказанное. Вырежьте из бумаги кружок величиной с пятикопеечную монету. Уроните монету и кружок порознь с одинаковой высоты. Вы уже знаете, что в пустоте все тела должны падать одинаково быстро. В нашем случае правило не оправдается: бумажный кружок упадет на пол заметно позднее монеты. Причина та, что монета лучше одолевает сопротивление воздуха, чем бумажка. Повторите опыт на иной лад: положите бумажный кружок поверх монеты и тогда уроните их. Вы увидите, что и кружок и монета достигнут пола в одно время. Почему? Потому что на этот раз бумажному кружку не приходится бороться с воздухом: эту работу выполняет за него монета, движущаяся впереди. Точно так же и бегуну, движущемуся позади другого, легче бежать: он освобожден от борьбы с воздухом.

Из книги Медицинская физика автора Подколзина Вера Александровна

41. Полное сопротивление ((импеданс) тканей организма. Физические основы реографии Ткани организма проводят не только постоянный, но и пе ременный ток. В организме нет таких систем, которые бы ли бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индук тивность его близка к

Из книги Новейшая книга фактов. Том 3 [Физика, химия и техника. История и археология. Разное] автора Кондрашов Анатолий Павлович

Из книги Межпланетные путешествия [Полёты в мировое пространство и достижение небесных тел] автора Перельман Яков Исидорович
Из книги Механика от античности до наших дней автора Григорьян Ашот Тигранович
Сопротивление воздуха И это еще не все, что ожидает пассажиров в течение того краткого мига, который они проведут в канале пушки. Если бы каким-нибудь чудом они остались живы в момент взрыва, гибель ожидала бы их у выхода из орудия. Вспомним о сопротивлении воздуха! При

Из книги автора
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Связь между прикладными задачами и теоретическими обобщениями в русской механике второй половины XIX — начала XX в. получила также яркое выражение в работах по теории упругости и сопротивлению материалов.Задачи теории

Силами сопротивления называются силы, препятствующие движению автомобиля. Эти силы направлены против его движения.
При движении на подъеме, характеризуемом высотой H п, длиной проекции В п на горизонтальную плоскость и углом подъема дороги α, на автомобиль действуют следующие силы сопротивления (рис. 3.12): сила сопротивления качению Р к , равная сумме сил сопротивления качению передних (Р К|) и задних (Р К2) колес, сила сопротивления подъему Р п , сила сопротивления воздуха Д и сила сопротивления разгону Р И . Силы сопротивления качению и подъему связаны с особенностями дороги. Сумма этих сил называется силой сопротивления дороги Р Д .
Рис. 3.13. Потери энергии на внутреннее трение в шине:
а — точка, соответствующая максимальным значениям нагрузки и прогиба шины

Сила сопротивления качению

Возникновение силы сопротивления качению при движении обусловлено потерями энергии на внутреннее трение в шинах, поверхностное трение шин о дорогу и образование колеи (на деформируемых дорогах).О потерях энергии на внутреннее трение в шине можно судить по рис. 3.13, на котором приведена зависимость между вертикальной нагрузкой на колесо и деформацией шины — ее прогибом f ш .
При движении колеса по неровной поверхности шина, испытывая действие переменной нагрузки, деформируется. Линия αО, которая соответствует возрастанию нагрузки, деформирующей шину, не совпадает с линией аО, отвечающей снятию нагрузки. Площадь области, заключенной между указанными кривыми, характеризует потери энергии на внутреннее трение между отдельными частями шины (протектор, каркас, слои корда и др.).
Потери энергии на трение в шине называются гистерезисом, а линия ОαО — петлей гистерезиса.
Потери на трение в шине необратимы, так как при деформации она нагревается и из нее выделяется теплота, которая рассеивается в окружающую среду. Энергия, затрачиваемая на деформацию шины, не возвращается полностью при последующем восстановлении ее формы.
Сила сопротивления качению Р к достигает наибольшего значения при движении по горизонтальной дороге. В этом случае
где G — вес автомобиля, Н; f — коэффициент сопротивления качению.
При движении на подъеме и спуске сила сопротивления качению уменьшается по сравнению с Р к на горизонтальной дороге, и тем значительнее, чем они круче. Для этого случая движения сила сопротивления качению
где α — угол подъема, °.
Зная силу сопротивления качению, можно определить мощность, кВт,
затрачиваемую на преодоление этого сопротивления:
где v -скорости автомобиля,м/c 2
Для горизонтальной дороги соs0°=1 и
З
ависимости силы сопротивления качениюР к и мощности N К от скорости автомобиля v показаны на рис. 3.14

Коэффициент сопротивления качению

Коэффициент сопротивления качению существенно влияет на потери энергии при движении автомобиля. Он зависит от многих конструктивных и эксплуатационных
Рис 3.15. Зависимости коэффициента сопротивления качению от

Скорости движения (а), давления воздуха в шине (б) и момента, передаваемого через колесо (в)

факторов и определяется экспериментально. Его средние значения для различных дорог при нормальном давлении воздуха в шине составляют 0,01 …0,1.Рассмотрим влияние различных факторов на коэффициент сопротивления качению.
Скорость движения . При изменении скорости движения в интервале 0…50 км/ч коэффициент сопротивления качению изменяется незначительно и его можно считать постоянным в указанном диапазоне скоростей.
При повышении скорости движения за пределами указанного интервала коэффициент сопротивления качению существенно увеличивается (рис. 3.15, а) вследствие возрастания потерь энергии в шине на трение.
Коэффициент сопротивления качению в зависимости от скорости движения можно приближенно рассчитать по формуле
где — скорость автомобиля, км/ч.
Тип и состояние покрытия дороги. На дорогах с твердым покрытием сопротивление качению обусловлено главным образом деформациями шины.
При увеличении числа дорожных неровностей коэффициент сопротивления качению возрастает.
На деформируемых дорогах коэффициент сопротивления качению определяется деформациями шины и дороги. В этом случае он зависит не только от типа шины, но и от глубины образующейся колеи и состояния грунта.
Значения коэффициента сопротивления качению при рекомендуемых уровнях давления воздуха и нагрузки на шину и средней скорости движения на различных дорогах приведены ниже:
Асфальто- и цементобетонное шоссе:
в хорошем состоянии………………………………. 0,007…0,015
в удовлетворительном состоянии…………… 0,015…0,02
Гравийная дорога в хорошем состоянии…. 0,02…0,025
Булыжная дорога в хорошем состоянии…… 0,025…0,03
Грунтовая дорога сухая, укатанная………….. 0,025…0,03
Песок………………………………………………………….. 0,1…0,3
Обледенелая дорога, лед…………………………. 0,015…0,03
Укатанная снежная дорога……………………….. 0,03…0,05
Тип шины. Коэффициент сопротивления качению во многом зависит от рисунка протектора, его износа, конструкции каркаса и качества материала шины. Изношенность протектора, уменьшение числа слоев корда и улучшение качества материала приводят к падению коэффициента сопротивления качению вследствие снижения потерь энергии в шине.
Давление воздуха в шине . На дорогах с твердым покрытием при уменьшении давления воздуха в шине коэффициент сопротивления качению повышается (рис. 3.15, б). На деформируемых дорогах при снижении давления воздуха в шине уменьшается глубина колеи, но возрастают потери на внутреннее трение в шине. Поэтому для каждого типа дороги рекомендуется определенное давление воздуха в шине, при котором коэффициент сопротивления качению имеет минимальное значение.
. При увеличении вертикальной нагрузки на колесо коэффициент сопротивления качению существенно возрастает на деформируемых дорогах и незначительно — на дорогах с твердым покрытием.
Момент, передаваемый через колесо . При передаче момента через колесо коэффициент сопротивления качению возрастает (рис. 3.15, в) вследствие потерь на проскальзывание шины в месте ее контакта с дорогой. Для ведущих колес значение коэффициента сопротивления качению на 10… 15 % больше, чем для ведомых.
Коэффициент сопротивления качению оказывает существенное влияние на расход топлива и, следовательно, на топливную экономичность автомобиля. Исследования показали, что даже небольшое уменьшение этого коэффициента обеспечивает ощутимую экономию топлива. Поэтому неслучайно стремление конструкторов и исследователей создать такие шины, при использовании которых коэффициент сопротивления качению будет незначительным, но это весьма сложная проблема.

Решение.

Для решения задачи рассмотрим физическую систему «тело – гравитационное поле Земли». Тело будем считать материальной точкой, а гравитационное поле Земли — однородным. Выделенная физическая система является незамкнутой, т.к. во время движения тела взаимодействует с воздухом.

Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, то изменение полной механической энергии системы равняется работе силы сопротивления воздуха, т.е. ∆ E = A c .
Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на поверхности Земли. Единственной внешней силой в отношении системы «тело – Земля» является сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх. Начальная энергия системы
E 1 , конечная E 2 .

Работа силы сопротивления
A.

Т.к. угол между силой сопротивления и перемещением равен 180° , то косинус равен -1, поэтому
A = — F c h . Приравняем A.

Рассматриваемую незамкнутую физическую систему можно также описать теоремой от изменении кинетической энергии системы взаимодействующих между собой объектов, согласно которой изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной внешними и внутренними силами при ее переходе из начального состояния в конечное. Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, а внутренней – сила тяжести. Следовательно ∆ E к = A 1 + A 2 , где A 1 = mgh – работа силы тяжести, A 2 = F c hcos 180° = — F c h – работа силы сопротивления; ∆ E = E 2 – E 1 .

Это творческое задание для мастер-класса по информатике для школьников при ДВФУ.
Цель задания — выяснить, как изменится траектория тела, если учитывать сопротивление воздуха. Также необходимо ответить на вопрос, будет ли дальность полёта по-прежнему достигать максимального значения при угле бросания в 45°, если учитывать сопротивление воздуха.

В разделе «Аналитическое исследование» изложена теория. Этот раздел можно пропустить, но он должен быть, в основном, понятным для вас, потому что бо льшую часть из этого вы проходили в школе.
В разделе «Численное исследование» содержится описание алгоритма, который необходимо реализовать на компьютере. Алгоритм простой и краткий, поэтому все должны справиться.

Аналитическое исследование
Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. В начальный момент времени тело массой m находится в начале координат. Вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз и имеет координаты (0, —g ).
— вектор начальной скорости. Разложим этот вектор по базису: . Здесь , где — модуль вектора скорости, — угол бросания.
Запишем второй закон Ньютона: .
Ускорение в каждый момент времени есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени: .
Следовательно, 2-й закон Ньютона можно переписать в следующем виде:
, где — это равнодействующая всех сил, действующая на тело.
Так как на тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, то
.
Мы будем рассматривать три случая:
1) Сила сопротивления воздуха равна 0: .
2) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна скорости: .
3) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна квадрату скорости: .
Вначале рассмотрим 1-й случай.
В этом случае , или .

Из следует, что (равноускоренное движение).
Так как (r — радиус-вектор), то .
Отсюда .
Эта формула есть не что иное, как знакомая вам формула закона движения тела при равноускоренном движении.
Так как , то .
Учитывая, что и , получаем из последнего векторного равенства скалярные равенства:
Проанализируем полученные формулы.
Найдём время полёта тела. Приравняв y к нулю, получим
Дальность полёта равна значению координаты x в момент времени t 0:
Из этой формулы следует, что максимальная дальность полёта достигается при .
Теперь найдём уравнение трактории тела . Для этого выразим t через x

И подставим полученное выражение для t в равенство для y .
Полученная функция y (x ) — квадратичная функция, её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Про движение тела, брошенного под углом к горизонту (без учёта сопротивления воздуха), рассказывается в этом видеоролике.

Теперь рассмотрим второй случай: .

Второй закон приобретает вид ,
отсюда .
Запишем это равенство в скалярном виде:

Мы получили два линейных дифференциальных уравнения .
Первое уравнение имеет решение
В чём можно убедиться, подставив данную функцию в уравнение для v x и в начальное условие .
Здесь e = 2,718281828459… — число Эйлера .
Второе уравнение имеет решение
Так как , , то при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, в отличие от случая 1, когда скорость неограниченно увеличивается.
В следующем видеоролике говорится, что парашютист сначала движется ускоренно, а потом начинает двигаться равномерно (даже до раскрытия парашюта).

Найдём выражения для x и y .
Так как x (0) = 0, y (0) = 0, то

Нам осталось рассмотреть случай 3, когда .
Второй закон Ньютона имеет вид
, или .
В скалярном виде это уравнение имеет вид:
Это система нелинейных дифференциальных уравнений . Данную систему не удаётся решить в явном виде, поэтому необходимо применять численное моделирование.

Численное исследование
В предыдущем разделе мы увидели, что в первых двух случаях закон движения тела можно получить в явном виде. Однако в третьем случае необходимо решать задачу численно. При помощи численных методов мы получим лишь приближённое решение, но нас вполне устроит и небольшая точность. (Число π или квадратный корень из 2, кстати, нельзя записать абсолютно точно, поэтому при расчётах берут какое-то конечное число цифр, и этого вполне хватает.)
Будем рассматривать второй случай, когда сила сопротивления воздуха определяется формулой. Отметим, что при k = 0 получаем первый случай.

Скорость тела подчиняется следующим уравнениям:

В левых частях этих уравнений записаны компоненты ускорения .
Напомним, что ускорение есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени.
В правых частях уравнений записаны компоненты скорости. Таким образом, данные уравнения показывают, как скорость изменения скорости связана со скоростью.
Попробуем найти решения этих уравнений при помощи численных методов. Для этого введём на временной оси сетку : выберем число и будем рассматривать моменты времени вида : .
Наша задача — приближённо вычислить значения в узлах сетки.
Заменим в уравнениях ускорение (мгновенную скорость изменения скорости) на среднюю скорость изменения скорости, рассматривая движение тела на промежутке времени :
Теперь подставим полученные аппроксимации в наши уравнения.

Полученные формулы позволяют нам вычислить значения функций в следующем узле сетки, если известны значения этих функций в предыдущем узле сетки.

При помощи описанного метода мы можем получить таблицу приближённых значений компонент скорости.
Как найти закон движения тела, т.е. таблицу приближённых значений координат x (t ), y (t )? Аналогично!
Имеем
Значение vx[j] равняется значению функции , для других массивов аналогично.
Теперь остаётся написать цикл, внутри которого мы будем вычислять vx через уже вычисленное значение vx[j], и с остальными массивами то же самое. Цикл будет по j от 1 до N .
Не забудьте инициализировать начальные значения vx, vy, x, y по формулам , x 0 = 0, y 0 = 0.
В Паскале и Си для вычисления синуса и косинуса имеются функции sin(x) , cos(x) . Обратите внимание, что эти функции принимают аргумент в радианах.
Вам необходимо построить график движения тела при k = 0 и k > 0 и сравнить полученные графики. Графики можно построить в Excel.
Отметим, что расчётные формулы настолько просты, что для вычислений можно использовать один только Excel и даже не использовать язык программирования.
Однако в дальнейшем вам нужно будет решить задачу в CATS, в которой нужно вычислить время и дальность полёта тела, где без языка программирования не обойтись.
Обратите внимание, что вы можете протестировать вашу программу и проверить ваши графики, сравнив результаты вычислений при k = 0 с точными формулами, приведёнными в разделе «Аналитическое исследование».
Поэкспериментируйте со своей программой. Убедитесь в том, что при отсутствии сопротивления воздуха (k = 0) максимальная дальность полёта при фиксированной начальной скорости достигается при угле в 45°.
А с учётом сопротивления воздуха? При каком угле достигается максимальная дальность полёта?
На рисунке представлены траектории тела при v 0 = 10 м/с, α = 45°, g = 9,8 м/с 2 , m = 1 кг, k = 0 и 1, полученные при помощи численного моделирования при Δt = 0,01.

Вы можете ознакомиться с замечательной работой 10-классников из г. Троицка, представленной на конференции «Старт в науку» в 2011 г. Работа посвящена моделированию движения теннисного шарика, брошенного под углом к горизонту (с учетом сопротивления воздуха). Применяется как численное моделирование, так и натурный эксперимент.
Таким образом, данное творческое задание позволяет познакомиться с методами математического и численного моделирования, которые активно используются на практике, но мало изучаются в школе. К примеру, данные методы использовались при реализации атомного и космического проектов в СССР в середине XX века.

Подъемная сила и сопротивление

Аэродинамика занимается законами движения воздуха. Зная эти законы можно найти ответ на вопросы, почему самолет летает и не падает как камень на землю.

Принцип работы крыла
Перед взлетом, самолет мчится с возрастающей скоростью по взлетной полосе аэродрома. И только по достижению определенной скорости он отрывается от земли. Если мы хотим узнать, по какому принципу происходит этот отрыв от земли и соответственно поднятие самолета в воздух, то для этого нам нужно познакомиться с научными выводами итальянского физика Бернулли. Один из сформулированных им законов гласит: в стационарном потоке сумма давления спокойного воздуха (статическое давление) и скоростного напора (динамическое давление) всегда остается неизменной. Для того чтобы это понять, давайте сперва рассмотрим сосуд с водой. Жидкость давит на стены и дно сосуда. Это давление обозначается как статическое или динамическое. Как только вода начинает выливаться, то на сливе возникает динамическое давление, которое отбирает свою энергию у статического давления. Статическое давление при этом уменьшается на величину динамического давления.

Давайте рассмотрим следующий пример: в суживающуюся трубу вливается вода. Через каждый участок трубы, за каждый промежуток времени протекает одинаковое количество жидкости. Если за определенную единицу времени через суженный участок трубы протекает такое же количество воды, как и через широкий, то на узком отрезке скорость течения воды должна быть быстрее. Но этой более высокой скорости соответствует более низкое внутреннее (статическое) давление.

Типичные явления для аэродинамики

Экспериментально это можно было бы легко доказать. Благодаря этим научными сведениями можно легко объяснить некоторые явления из нашей окружающей среды. Воздушный поток является причиной того, что при открытой двери захлопывается окно. Статическое давление (давление спокойного воздуха) потока воздуха на одной стороне двери – меньше, чем действующее давление воздуха на другой стороне. Во время полета, движение крыла направлено против воздуха, вследствие чего возникает его обтекание воздушным потоком. Благодаря выпуклой форме профиля крыла, увеличивается скорость потока частиц воздуха на верхней поверхности профиля. Мы знаем, что более высокая скорость воздушного потока связана с малым статическим давлением, а низкая скорость создает более высокое статическое давление. Таким образом, на верхней поверхности крыла создается меньшее статическое давление, чем под ним. Как следствие эта появляющаяся сила засасывания к верху, которой способствует давление снизу и позволяет установить подъемную силу, которую можно измерить. Приблизительно можно сказать, что подъемная сила на профиле крыла на две третьих состоит из силы засасывания на верхней поверхности крыла и на одну третью из давления на нижней поверхности крыла.

Аэродинамические процессы

С помощью специально изготовленных крыльев, у которых на верхней и нижней поверхности, на разных местах были установлены манометры, появилась возможность составить точную картину о соотношении давлений омываемого потоком воздуха профиля. Рисунок 2 отображает точное распределение сил вокруг всего профиля.

Во времена после 1918 года авиаконструкторы размышляли над следующим вопросом: так как более высокая скорость обтекающего потока дает более высокую силу засасывания и тем самым интенсивнее подъемную силу, то для этого всего лишь необходимо увеличить изгиб профиля крыла. Этим нововведением они достигли того, что новые типы самолетов могут перевозить тяжелые грузы. Несмотря на улучшенные характеристики двигателя, соответствующие увеличения скорости так и не были достигнуты.

Для нас совершенно очевидно, что большее по размерам тело (здесь профиль крыла), соответственно, должно преодолевать большее сопротивление воздуха.

Вот мы и подошли ко второй параметрической величине аэродинамики – к сопротивлению. Любой пешеход скажет, что при ходьбе, резкие порывы ветра довольно ощутимы. Кроме того, каждому велосипедисту известно такое явление как сопротивление воздуха, особенно при сильном встречном ветре. Некоторые из них, пожалуй, уже сами установили тот факт, что данное сопротивление возрастает с увеличением скорости. Сопротивление воздуха – тем больше, чем выше скорость полета самолета, а именно составляет величину, равную квадрату скорости ветра.

Зависимость сопротивления от формы телаЗависимость сопротивления от формы тела

Возрастание сопротивления происходит также с увеличением удельного веса (или соответственно плотности) воздуха. Тяжелый холодный воздух или „более плотный воздух“ по близости с поверхностью земли оказывает большее сопротивление, но при этом и создает лучшую подъемную силу, чем теплый легкий или разреженный воздух на больших высотах. Для обоснования соотношения сопротивления и подъемной силы, одного только измерения скорости ветра не достаточно. Для этого необходимо знать удельный вес воздуха. При скоростном напоре – эти обе величины: скорость и удельный вес – объединены.

Кроме того, на создаваемое сопротивление значительно влияет форма тела. В этом может убедиться каждый, подержав зонт против ветра. Точные измерения величин сопротивления тел, самых различных форм, в аэродинамической трубе, можно увидеть на рисунке 3. Таким образом, можно утверждать, что сопротивление тела зависит не только от его относительной скорости к воздуху, а и в особой мере от собственной формы.

Изначально существовало мнение, что сопротивление воздуха тела состоит из трения воздуха об верхнюю поверхность и вытеснения его окружающим воздухом. Результат более точных исследований показывает, что наибольшее сопротивление появляется вследствие образования завихрений на обратной стороне тела. Не вдаваясь подробно в процесс возникновения завихрений (проблемы пограничного слоя), вкратце можно охарактеризовать его как поглощение энергии. Благодаря созданию подходящей формы, соприкасающихся с потоком воздуха, частей, конструктор создает основу для предотвращения возникновения таких завихрений. В особой мере это касается самолетостроения. Благоприятные характеристики воздушного потока обтекаемой формы имеют свое основание в потоке лишенном завихрений. Отдельные частички воздуха обтекают тело в „линиях обтекания“. Чем безпрепятственнее происходит обтекание, тем меньше, создаваемая телом, сила сопротивления.

Перед вертикальной пластиной накапливаются частицы воздуха, а за ней, перед тем как воздушный поток начнет снова протекать в спокойной и равномерной форме, образуются длинные участки завихрений. Пластина создает большую область возмущений в воздушном потоке, потому что завихрения затормаживают попутный поток воздуха. Это выражается в заметном увеличении сопротивления. Обтекаемое тело постепенно отклоняет воздушный поток и практически не имеет завихрений, а его сопротивление – при одинаковой лобовой поверхности намного меньше, чем сопротивление пластины. Величина, когда определенная форма влияет на сопротивление тела, выражается с помощью коэффициента сопротивления Cw; значение данного коэффициента можно узнать, проведя соответствующие испытания. Также, определенно, значение сопротивления зависит и от состояния поверхности. Существует значительная разница между тем, где едет велосипедист, будь то ровная дорога или ухабистая. Чем ровнее поверхность дороги, тем меньше сопротивление нужно преодолеть велосипедисту.

Коэффициент сопротивления Cw может быть уменьшен благодаря рациональной форме самолета. Все поперечные сечения должны иметь максимально удобную форму обтекаемого профиля, переходы поперечных сечений, к примеру, от фюзеляжа на крыле или управляющем устройстве должны быть закрыты обтекателем таким образом, чтобы воздушный поток проходил как можно беспрепятственней и без образования завихрений. Поверхности должны быть ровными, выпуклости, вмятины, царапины, плохое покрытие, выступающие заклепки и заграждающие выступы на поверхности ухудшают коэффициент сопротивления. Он может также меняться в зависимости от состояния поверхности. Очень шероховатая поверхность способна удвоить коэффициент сопротивления формы.

Таким образом, сопротивление воздуха самолета растет в равных пропорциях с коэффициентом сопротивления, площадью лобовой поверхности и плотности воздуха и в квадрате от развиваемой скорости. Скорость полета, при одинаковых характеристиках двигателей, может увеличиваться, благодаря уменьшению коэффициента сопротивления и площади лобовой поверхности, т.е. более рациональной форме и благодаря полету в слоя атмосферы с небольшой плотностью воздуха, следовательно, на больших высотах. Следует заметить, что хоть при увеличении изгиба верхней поверхности крыла и создается большая подъемная сила, это одновременно способствует чрезвычайному увеличению сопротивления воздуха.

Подводя итог, можно сказать, что подъемная сила и сопротивление – это два взаимосвязанных фактора. Авиаконструктор должен найти компромисс в зависимости от требуемого назначения конструируемого самолета. А именно, профили крыльев самолетов для транспортировки грузов имеют больший изгиб, что влияет на уровень достигаемой скорости. Самолеты-истребители, напротив имеют небольшой изгиб в профилях крыльев, благодаря чему сила сопротивления значительно уменьшается, способствуя тем самым, развитию огромной скорости.

Сила сопротивления подъему

Вес автомобиля, который движется на подъеме, можно разложить на две составляющие (см. рис. 3.12): параллельную и перпендикулярную поверхности дороги. Составляющая силы тяжести, параллельная поверхности дороги, представляет собой силу сопротивления подъему, Н:

где G — вес автомобиля , Н; α-угол подъёма,ْ .
В качестве характеристики крутизны подъема наряду с углом α используют величину i, называемую уклоном и равную , где Н_п — высота подъема; В_п — длина его проекции на горизонтальную плоскость.
Сила сопротивления подъему может быть направлена как в сторону движения, так и против него. В процессе подъема она действует в направлении, противоположном движению, и является силой сопротивления движению. При спуске эта сила, направленная в сторону движения, становится движущей.
Зная силу сопротивления подъему, можно определить мощность, кВт, необходимую для преодоления этого сопротивления:
Рис. 3.16. Зависимости силы сопротивления подъему Р_п и мощности N_п ,необходимой для его преодоления, от скорости автомобиля

где — скорость автомобиля, м/с.
Зависимости силы сопротивления подъему Р_п и мощности N_П, необходимой для преодоления этого сопротивления, от скорости автомобиля v приведены на рис. 3.16.

Сила сопротивления дороги

Сила сопротивления дороги представляет собой сумму сил сопротивления качению и сопротивления подъему:

или

Выражение в скобках, характеризующее дорогу в общем случае, называется коэффициентом сопротивления дороги:

При малых углах подъема (не превышающих 5°), характерных для большинства автомобильных дорог с твердым покрытием, коэффициент сопротивления дороги

Сила сопротивления дороги в этом случае

Зная силу сопротивления дороги, можно определить мощность, кВт, необходимую для его преодоления:
Рис. 3.17. Зависимости силы сопротивления дороги Р_д и мощности N_д, затрачиваемой на его преодоление, от скорости автомобиля

где скорость автомобиля выражена в м/с, вес G — в Н, мощность Nд — в кВт.
Зависимости силы сопротивления дороги Р_Д и мощности N_д, затрачиваемой на его преодоление, от скорости автомобиля представлены на рис. 3.17.

Сила сопротивления воздуха

При движении действие силы сопротивления воздуха обусловлено перемещением частиц воздуха и их трением о поверхность автомобиля. Если он движется при отсутствии ветра, то сила сопротивления воздуха, Н:

тогда как при наличии ветра

где k_в — коэффициент сопротивления воздуха (коэффициент обтекаемости), Н-с²/м⁴; F_а — лобовая площадь автомобиля, м²; — скорость автомобиля, м/с; _в — скорость ветра, м/с (знак «+» соответствует встречному ветру, знак «-» — попутному).
Коэффициент сопротивления воздуха, зависящий от формы и качества поверхности автомобиля,
Рис. 3.18. Площади лобового сопротивления легкового (а) и грузового(б) автомобилей
Рис. 3.20. Зависимости силы сопротивления разгону Р_н и мощности N_И, необходимой для преодоления этого сопротивления, от скорости автомобиля
определяется экспериментально при продувке в аэродинамической трубе.
Коэффициент сопротивления воздуха, Н-с²/м⁴, составляет 0, 2. ..0,35 для легковых автомобилей, 0, 35. ..0, 4 — для автобусов и 0, 6. ..0, 7 — для грузовых автомобилей. При наличии прицепов сопротивление воздуха увеличивается, так как возрастает наружная поверхность трения и возникают завихрения воздуха между тягачомиприцепами.Приэтом45

каждый прицеп вызывает увеличение коэффициента k_в в среднем на 15…25 %.
Лобовая площадь автомобиля зависит от его типа (рис. 3.18). Ее приближенное значение, м², можно вычислить по следующим формулам:
— для грузовых автомобилей и автобусов;
— для легковых автомобилей,
где B — колея колес автомобиля, м; Н_а — наибольшая высота автомобиля, м; В_а — наибольшая ширина автомобиля, м.

Мощность, кВт, затрачиваемая на преодоление сопротивления воздуха:
— отсутствии ветра;
— при наличии ветра.
Зависимости силы сопротивления воздуха Р_B и мощности N_В, необходимой для преодоления этого сопротивления, от скорости автомобиля v приведены на рис. 3.19.

Снаряд, сопротивление воздуха и ветра
Я сделал нечто подобное некоторое время назад как проект для домашних животных.
Как только вы начинаете работать с ветром, который находится не сзади или спереди, вы переводите систему в 3D-систему.
Индексы обозначают снаряд (p), ветер (w) и их компоненты (x, y, z). ODE первого порядка для такой системы:
d Икс d T = V р х d Икс d T знак равно v п Икс
d Y d T = V р ты d Y d T знак равно v п Y
d Z d T = V р з d Z d T знак равно v п Z
d v р х d T = а р х d v п Икс d T знак равно п Икс
d v р ты d T = а р ты d v п Y d T знак равно п Y
d v р з d T = а р з d v п Z d T знак равно п Z
где ускорение каждого компонента определяется
р х = — 0,5 С d ρ A ( v р х + V ш х ) 2 м п Икс знак равно — 0,5 С d ρ ( v п Икс + v вес Икс ) 2 м
р ты = — 0,5 С d ρ A ( v р ты + V у тебя ) 2 м п Y знак равно — 0,5 С d ρ ( v п Y + v вес Y ) 2 м
р з = — 0,5 С d ρ A ( v р з + V W Z ) 2 м — г п Z знак равно — 0,5 С d ρ ( v п Z + v вес Z ) 2 м — грамм
не забывая учитывать гравитацию в направлении z
Это сработало для меня, хотя я не уверен на 100%, правильно ли я справляюсь с ветром. Надеюсь, здесь кто-нибудь может позвонить, если я ошибся.
Для вашего проекта, я надеюсь, у вас есть сферический снаряд. Это становится действительно уродливым, очень быстрым, если это что-то похожее на пулю. В этом случае момент снаряда также должен вступить в игру, распространяя проблему на систему с 6 степенями свободы. Затем Площадь снаряда, соприкасающегося с ветром, изменяется при вращении. Со сложной формой, такой как пуля, вам нужно будет сделать несколько неприятных расчетов площади поверхности, чтобы определить сопротивление.
PS: При моделировании этого вам нужны проверки, чтобы остановить решатель, как только снаряд «поразит цель» (например, землю), иначе интеграторы сойдут с ума. Я «преодолел» это, используя оператор IF-Then-else, где условие IF состояло в том, что если цель не была достигнута (с простым вычислением расстояния), ODE будут такими, как я описал. Иначе, все ODE будут равны «0», и, таким образом, ничего не будет вычисляться дальше. Вероятно, есть лучший способ выйти из ode45 в Matlab, но я не достаточно опытен, чтобы приспособить его к моей проблеме.
EDIT1: коэффициент сопротивления также изменяется со скоростью (отношение числа Рейнольдса), но, к счастью, довольно хорошо задокументировано для сферы. Хотя пуля не так хорошо документирована.
Подготовка к олимиаде по физике
1. Из двух портов, расстояние между которыми l, одновременно выходят два катера со скоростями v₁ и v₂, направленными соответственно под углами α и β к прямой, соединяющей порты. Каково минимальное расстояние между ними?
[ r_min = l (v₂ sin β − v₁ sin α) ]
√(v₁² + v₂² + 2v₁v₂cos(α + β))

2. С поверхности Земли бросили вертикально вверх кусочек пластилина со скоростью v_o. Одновременно такой же кусочек пластилина начал падать без начальной скорости с высоты H. При столкновении кусочки слиплись. Через какое время после начала бросания и с какой скоростью слипшийся комок упадет на Землю?

[ t = v_o + √(v_o² + 4gH) ]
2g
[ v = √(v_o² + 4gH) ]
2

3. С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью 30,1 c. Длительность импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна 29,9 c. Определите скорость погружения лодки. Скорость звука в воде 1500 м/с.

[ v = v_З t₁ − t₂ = 5 м/с ]
t₁ + t₂

4. Пловец переплывает реку шириной L по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время t₁ = 4 мин. Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время t₂ = 5 мин. Во сколько раз α скорость пловца относительно воды превышает скорость течения реки?

[ α = t₂ = 5 ]
√(t₂² − t₁²) 3

5. Жонглер бросает вертикально вверх шарики с одинаковой скоростью через равные промежутки времени. При этом пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания. Найдите максимальное расстояние S_max между первым и вторым шариками, если начальная скорость шариков v_o = 5 м/c. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/c². Сопротивлением воздуха пренебречь.

[S_max = 3v_o² ≈ 0,94 м. ]
8g

6. Вдоль железной дороги через каждые 100 м расставлены столбики с номерами 1, 2,…, 10, 1, 2,…, 10,…. Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Через какое время после проезда этого столбика кабина машиниста может проехать мимо ближайшего столбика с цифрой «3»? Скорость поезда меньше 100 км/ч.

[ t₁ = 120 с, t₂ = 10,9 с, t₃ = 5,7 с, t₄ = 3,9 с ]

7. У мальчика, сидящего на вращающейся с угловой скоростью w карусели на расстоянии R от ее оси, выпали из кармана с интервалом t два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна h?

[ ΔL = 2R • |sin wt | • √(1 + 2hw2 ) ]
2 g

8. Первый вагон тронувшегося с места поезда прошел мимо неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала этого вагона, за время t₁, последний вагон — за t₂. Считая движение поезда равноускоренным, а длины вагонов одинаковыми, найдите время движения мимо наблюдателя всего поезда.

Ответ: t = t₁² + t₂² ,
2t₂
если исходные данные таковы, что:
( t₁² + t₂² )² — целое число,
2t₁t₂
то искомое время: если:
( t₁² + t₂² )² — не является целым числом,
2t₁t₂
то задача решения не имеет.

9. На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз упругий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за время t, а за время между двумя последовательными ударами об пол проходит путь L относительно Земли.
Из этого выражения следует, что задача имеет решение, если исходные данные удовлетворяют условию: При невыполнении этого условия в рамках сделанных предположений задача не имеет решения.]

10. Эскалатор метро движется со скоростью v. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на одну ступеньку вперёд и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шёл другим способом: делал два шага вперёд и один шаг назад? Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперёд и назад одинакова и равна u. Считайте, что размеры ступеньки много меньше длины эскалатора.

[t₁ = (3v − u)t ]
3v + u

11. На полу около стены стоит гладкий клин. На его плоскости, образующей с горизонтом угол φ, лежит груз, удерживаемый невесомой нерастяжимой нитью. Один конец нити прикреплен к стене так, что участок нити между стеной и клином горизонтален. Остальная часть нити лежит на наклонной плоскости (рисунок). Найдите зависимость от времени t скорости движения груза относительно пола после начала движения клина от стены с ускорением a, параллельным горизонтальному участку нити.

[ v_гр(t) = 2at sin ( φ ). ]
2

12. Стержень длиной l = 0,85 м движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны v₁ = 1 м/с и v₂ = 1,5 м/с, причем скорость первого из них направлена под углом α = 30° к стержню. Какова угловая скорость w вращения стержня вокруг его центра?

[ w = 1 (v₁ sin α + √(v₂² − v₁²cos²α)) ≈ 2 рад/с. ]
l

13. Маленький шарик падает без начальной скорости с некоторой высоты H на наклонную плоскость (рисунок). После удара он попадает на вторую плоскость. Точка первого удара находится на расстоянии L от линии соприкосновения плоскостей. С какой высоты H упал шарик, если после двух упругих ударов он снова поднялся на ту же высоту? Угол наклона плоскостей к горизонту равен α, причем α < π/4.

14. Дымовая шашка падает вертикально с высоты H_o с нулевой начальной скоростью. Дым сносится ветром, который дует горизонтально на всех высотах с постоянной скоростью v_o. На сколько будет снесен относительно вертикальной траектории шашки на высоте h над поверхностью Земли в момент падения шашки на земли? Ускорение свободного падения g.

[ x = v_o√( 2h_o )(1 − √(1 − h )). ]
g H_o

15. Колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью v. С верхней точки обода колеса срывается камешек. Через какое время колесо наедет на этот камешек? Радиус колеса R, ускорение свободного падения g.

16. Зал для зимнего футбола имеет высоту h = 8 м и длину L = 100 м. Найти скорость мяча, при которой он пролетит от ворот до ворот, почти коснувшись потолка. Ускорение свободного падения g =10 м/с². Сопротивлением воздуха и размером мяча пренебречь.

[ v = 1,312√(gL) = 41,5 м/с]

17. В коридоре длиной 11 м и с высотой потолка 3 м у самого начала ударяют о пол мяч со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. На какой высоте от пола ударяется мяч о торцевую стенку коридора?
[h = 2,03 м]

18. Трактор «Беларусь» поворачивает так, что частота вращения одного из задних колес равна n₁ = 1,5 об/с, а другого — n₂ = 1,4 об/с. Расстояние между колесами равно l = 1,9 м. Определите радиус разворота трактора.
[R = 27,6 м]

19. Орудие, установленное на горе высотой h = 2000 м, посылает горизонтально снаряд со скоростью v₁ = 800 м/с. Через промежуток времени τ = 5 c из этой же точки выпускается другой снаряд. Какой скоростью v₂ он должен обладать и как его надо выпустить, чтобы оба снаряда одновременно упали в одну точку поверхности Земли?

[ v₂ = l = 1,07 км/с,
(1 − τ)cos α
α = arctg 0.055 = − 3°12′. ]

20. На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный – в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться?

[ v_n = 1 км = 1 км × 3600 = 120 км = 120 км/ч, 40 км/ч, 24 км/ч …]
(30 + 60n) c (30 + 60n) час 2n + 1 ч

Падающий объект с сопротивлением воздуху

Предмет, падающий сквозь атмосфера подвергается двум внешним силы. Первая сила — это сила тяжести, выражаемая как масса объекта, а вторая сила — аэродинамическая тащить, тянуть объекта. В уравнение веса определяет вес W как равна массе м объекта, умноженное на ускорение свободного падения г :

W = м * г

значение г равно 9.8 метров в секунду в квадрате поверхность земли. Ускорение свободного падения уменьшается с увеличением квадрат расстояния от центра Земли. Но для большинства практических задач в атмосфере мы можем предположить, что коэффициент постоянен. Если бы объект падал в вакууме, это было бы единственным сила воздействуя на объект. Но в атмосфере движение падения объекту противостоит аэродинамический тащить, тянуть. В уравнение сопротивления говорит нам, что сопротивление D равно a коэффициент аэродинамического сопротивления Cd умножить на половину плотности воздуха r раз скорость В в квадрате, умноженном на ссылку площадь А на котором основан коэффициент лобового сопротивления:

На рисунке вверху плотность обозначена греческим символом «ро».2 А*

Движение любого движущегося объекта можно описать уравнением Ньютона. второй закон движения, сила F равна массе м раз ускорение a :

F = m * a

Мы можем немного заняться алгеброй и решить для ускорение объекта по чистому внешнему сила и масса объекта:

а = Ф / м

Масса и сопротивление силы , что составляет векторные величины.Чистая внешняя сила тогда равна разница веса и сил сопротивления:

F = W — D

Тогда ускорение объекта станет:

а = (W — D) / м

Сила сопротивления зависит от квадрата скорости.Так как тело ускоряется, его скорость и сопротивление возрастают. Это быстро доходит до точки где сопротивление в точности равно весу. Когда сопротивление равно весу, чистая внешняя сила отсутствует на объекте, и ускорение станет нулевым. Затем объект падает с постоянной скоростью, как описано Ньютона первый закон движения. Постоянная скорость называется предельная скорость.

Действия:

Экскурсии с гидом

падающих предметов:

Навигация..

Руководство для начинающих Домашняя страница

Веб-сайт класса физики

Слон и перо — сопротивление воздуху

Предположим, что слон и перо одновременно падают с очень высокого здания с одной и той же высоты. Мы предположим реалистичную ситуацию, когда и перо, и слон сталкиваются с сопротивлением воздуха.Какой объект — слон или перо — упадет на землю первым? Анимация справа точно отображает эту ситуацию. Показано движение слона и пера при наличии сопротивления воздуха. Кроме того, ускорение каждого объекта представлено векторной стрелкой.

Большинство людей не удивляются тому факту, что слон ударяется о землю раньше, чем перо. Но почему слон падает быстрее? Этот вопрос является источником большой путаницы (а также множества заблуждений).Проверьте свое понимание, попытавшись определить следующие утверждения как истинные или ложные.

ИСТИНА или ЛОЖЬ:

Слон испытывает меньшее сопротивление воздуха, чем перо, и поэтому падает быстрее.

У слона большее ускорение силы тяжести, чем у пера, и поэтому он падает быстрее.

И у слона, и у пера одинаковая сила тяжести, но у слона наибольшее ускорение свободного падения.

И слон, и перо имеют одинаковую силу тяжести, но перо испытывает большее сопротивление воздуха.

Каждый объект испытывает одинаковое сопротивление воздуха, но слон испытывает наибольшую силу тяжести.

Каждый объект испытывает одинаковое сопротивление воздуха, но перо испытывает наибольшую силу тяжести.

Перо весит больше, чем слон, и поэтому не будет ускоряться так быстро, как слон.

И слон, и перо весят одинаково, но большая масса пера приводит к меньшему ускорению.

Слон испытывает меньшее сопротивление воздуха, чем перо, и поэтому достигает большей конечной скорости.

Перо испытывает большее сопротивление воздуха, чем слон, и поэтому достигает меньшей конечной скорости.

Слон и перо испытывают одинаковое сопротивление воздуха, но у слона конечная скорость выше.

Если вы ответили ВЕРНО на любой из вышеперечисленных вопросов, то, возможно, у вас возникла некоторая путаница в отношении понятий веса, силы тяжести, ускорения свободного падения, сопротивления воздуха и конечной скорости. Слон и перо тянут вниз под действием силы тяжести. При первоначальном падении эта сила тяжести является неуравновешенной. Таким образом, и слон, и перо начинают ускоряться (т.е. набирать скорость). Когда слон и перо начинают набирать скорость, они сталкиваются с восходящей силой сопротивления воздуха.Сопротивление воздуха является результатом того, что объект пробивает сквозь слой воздуха и сталкивается с молекулами воздуха. Чем больше молекул воздуха, с которыми сталкивается объект, тем больше сила сопротивления воздуха. Следовательно, величина сопротивления воздуха зависит от скорости падающего объекта и площади поверхности падающего объекта. Основываясь только на площади поверхности, можно с уверенностью предположить, что (при той же скорости) слон столкнется с большим сопротивлением воздуха, чем перо.

Но почему же тогда слон, который встречает большее сопротивление воздуха, чем перо, падает быстрее? В конце концов, разве сопротивление воздуха не замедляет движение объекта? Разве объект с большим сопротивлением воздуха не будет падать медленнее?

Ответ на эти вопросы требует понимания первого и второго закона Ньютона и концепции конечной скорости.Согласно законам Ньютона, объект будет ускоряться, если силы, действующие на него, неуравновешены; и, кроме того, величина ускорения прямо пропорциональна величине чистой силы (неуравновешенной силы), действующей на нее. Падающие объекты изначально ускоряются (набирают скорость), потому что нет силы, достаточно большой, чтобы уравновесить направленную вниз силу тяжести. Тем не менее, когда объект набирает скорость, он сталкивается с возрастающей силой сопротивления воздуха, направленной вверх. Фактически, объекты будут продолжать ускоряться (набирать скорость) до тех пор, пока сила сопротивления воздуха не возрастет до достаточно большого значения, чтобы уравновесить направленную вниз силу тяжести.Поскольку слон имеет большую массу, он весит больше и испытывает большую силу тяжести, направленную вниз. Слону придется ускоряться (набирать скорость) в течение более длительного периода времени, прежде чем появится достаточное сопротивление восходящего воздуха, чтобы уравновесить большую нисходящую силу тяжести.

Когда направленная вверх сила сопротивления воздуха объекту становится достаточно большой, чтобы уравновесить направленную вниз силу тяжести, считается, что объект достиг конечной скорости. Конечная скорость — это конечная скорость объекта; объект будет продолжать падать на землю с этой конечной скоростью.В случае слона и пера конечная скорость слона намного выше, чем у пера. Как упоминалось выше, слону придется ускоряться в течение более длительного периода времени. Слону требуется большая скорость, чтобы накопить достаточную силу сопротивления восходящего воздуха, чтобы уравновесить нисходящую силу тяжести. Фактически, слон никогда не достигает предельной скорости; анимация выше показывает, что в момент перед ударом о землю у слона все еще есть ускорение.Если бы мы изобразили относительную величину двух сил, действующих на слона и перо в разное время при их падении, возможно, это выглядело бы так, как показано ниже. (ПРИМЕЧАНИЕ: величина вектора силы указывается относительным размером стрелки.)

Обратите внимание на приведенные выше диаграммы и приведенную выше анимацию, что перо быстро достигает баланса сил и, следовательно, нулевого ускорения (то есть конечной скорости). С другой стороны, слон никогда не достигает предельной скорости во время падения; силы никогда не становятся полностью уравновешенными, и поэтому ускорение все еще присутствует.Если дать достаточно времени, возможно, слон, наконец, разгонится до достаточно высоких скоростей, чтобы столкнуться с достаточно большой силой сопротивления воздуха, направленной вверх, чтобы достичь конечной скорости. Если бы оно действительно достигло конечной скорости, то эта скорость была бы чрезвычайно большой — намного больше, чем конечная скорость пера.

Итак, в заключение, слон падает быстрее, чем перо, потому что он никогда не достигает конечной скорости; он продолжает ускоряться при падении (накапливая все большее и большее сопротивление воздуха), приближаясь к конечной скорости, но никогда не достигая ее.С другой стороны, перо быстро достигает предельной скорости. Не требуя большого сопротивления воздуха, прежде чем оно прекратит свое ускорение, перо приобретает состояние предельной скорости на ранней стадии своего падения. Малая конечная скорость пера означает, что оставшаяся часть его падения будет происходить с небольшой конечной скоростью.

Но что, если бы не было сопротивления воздуха? Если бы сопротивление воздуха можно было как-то устранить (проводя эксперимент в вакууме), то какой объект — слон или перо — первым ударил бы о землю? Изучите эти вопросы, перейдя по соответствующим ссылкам на «Слон и перо (свободное падение)» в Multimedia Physics Studios.

Для получения дополнительной информации о физических описаниях движения посетите The Physics Classroom Tutorial. Подробная информация доступна по следующим темам:

Ускорение силы тяжести
Первый закон движения Ньютона

Сила тяжести и вес

Второй закон движения Ньютона

Диаграммы свободного тела

Зависимость свободного падения от сопротивления воздуха

Веб-сайт класса физики

Слон и перо — свободное падение

Предположим, что слон и перо одновременно падают с очень высокого здания с одной и той же высоты.Предположим также, что сопротивление воздуха можно каким-то образом устранить, чтобы ни слон, ни перо не испытывали никакого сопротивления воздуха во время падения. Какой объект — слон или перо — упадет на землю первым? Анимация справа точно отображает эту ситуацию. Показано движение слона и пера при отсутствии сопротивления воздуха. Кроме того, ускорение каждого объекта представлено векторной стрелкой.

Многих удивляет тот факт, что при отсутствии сопротивления воздуха слон и перо ударяются о землю одновременно.Почему это так? Этот вопрос является источником большой путаницы (а также множества заблуждений). Проверьте свое понимание, попытавшись определить следующие утверждения как истинные или ложные.

ИСТИНА или ЛОЖЬ:

Слон и перо имеют одинаковую силу тяжести.

Слон имеет большую массу, но и слон, и перо испытывают одинаковую силу тяжести.

Слон испытывает большую силу тяжести, но и слон, и перо имеют одинаковую массу.

На Земле все объекты (будь то слон или перо) имеют одинаковую силу тяжести.

Слон весит больше, чем перо, но все они имеют одинаковую массу.

Слон явно имеет большую массу, чем перо, но все они весят одинаково.

Слон явно имеет большую массу, чем перо, но сила тяжести (сила) одинакова для каждого из них.

У слона наибольшее ускорение, но сила тяжести одинакова для каждого из них.

Если вы ответили ВЕРНО на любой из вышеперечисленных вопросов, то, возможно, у вас возникла некоторая путаница в отношении понятий или слов «сила», «вес», «гравитация», «масса» и «ускорение». При отсутствии сопротивления воздуха и слон, и перо находятся в состоянии свободного падения. Другими словами, единственная сила, действующая на два объекта, — это сила тяжести. Эта сила тяжести заставляет и слона, и перо ускоряться вниз. Сила тяжести, испытываемая объектом, зависит от массы этого объекта.Масса относится к количеству вещества в объекте. Понятно, что у слона масса больше, чем у пера. Из-за своей большей массы слон также испытывает большую силу тяжести. То есть Земля тянет вниз на слона с большей силой, чем на перо. Поскольку вес является мерой силы тяжести, действующей на объект, было бы уместно сказать, что слон весит больше, чем перо. По этим причинам все восемь утверждений ложны; в каждом утверждении есть ошибочная часть из-за смешения веса, массы и силы тяжести.

Но если слон весит больше и испытывает большее притяжение вниз по сравнению с пером, почему тогда он ударяется о землю одновременно с пером? Отличный вопрос !! Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны вспомнить второй закон Ньютона — закон ускорения. Второй закон Ньютона гласит, что ускорение объекта напрямую связано с чистой силой и обратно пропорционально его массе. При расчете ускорения объекта необходимо учитывать два фактора — силу и массу.Применительно к сценарию слоновьего пера мы можем сказать, что слон испытывает гораздо большую силу (которая имеет тенденцию вызывать большие ускорения. Тем не менее, масса объекта сопротивляется ускорению. Таким образом, большая масса слона (которая имеет тенденцию создавать большие ускорения). малых ускорений) компенсирует влияние большей силы. Ускорение определяется соотношением сила / масса. Даже если слоненок может испытывать в 100 000 раз силу, превышающую силу пера, его масса в 100 000 раз превышает массу. массовое соотношение одинаково для каждого.Большая масса слона требует большей силы, чтобы поддерживать такое же ускорение, что и перо.

Следует помнить простое правило: все объекты (независимо от их массы) испытывают одинаковое ускорение в состоянии свободного падения. Когда единственная сила — это сила тяжести, ускорение одинаково для всех объектов. На Земле это значение ускорения составляет 9,8 м / с / с. Это настолько важное значение в физике, что ему дано особое название — ускорение свободного падения — и специальный символ — g .

А как насчет сопротивления воздуха? Разве нереально игнорировать влияние сопротивления воздуха на два объекта? При наличии сопротивления воздуха слон обязательно быстрее упадет. Верно? Изучите эти вопросы, пройдя по соответствующим ссылкам на Elephant and Feather (с сопротивлением воздуху) в Multimedia Physics Studios.

Для получения дополнительной информации о физических описаниях движения посетите The Physics Classroom Tutorial. Подробная информация доступна по следующим темам:

Свободное падение
Ускорение свободного падения

Сила тяжести и вес

Второй закон движения Ньютона

Сравнение свободного паденияВоздушное сопротивление

Сопротивление воздуха, сила сопротивления и скорость: как работает падение

Дон Линкольн, доктор философии, Университет Нотр-Дам

Когда многие факторы при падении или бросании предмета считаются постоянными, движение должно быть параболическим. Однако форма редко выглядит как идеальная парабола. Сопротивление воздуха и сила сопротивления влияют на движение и скорость объекта относительно его формы.
Чем больше становится площадь поверхности, тем выше сопротивление воздуха и другие факторы, приводящие к полету или падению.(Изображение: ZoranOrcik / Shutterstock)
Когда мяч брошен, его движение сформирует параболу. Мяч идет вперед и вверх, затем сила тяжести прекращает движение вверх и тянет вниз, но движение вперед продолжается. Однако вторая половина параболы обычно покрывает меньшее расстояние, чем первая половина. Это при том, что движение на самом деле параболическое. Когда брошенный предмет — перо или носовой платок, движение может не формироваться вообще ничего особенного.

Это показывает, что элементы участвующие в падении могут повлиять на него по-разному.Первый из них элементы — сопротивление воздуха. Другие элементы включают скорость, форму и поверхность. площадь объекта, силу перетаскивания и угол, под которым брошен объект.

Узнайте больше о From the Ground Up: How Flying Works.

Сопротивление воздуха

Когда объект движется через воздух или любую другую жидкость вещество сопротивляется движению. Степень зависит от многих факторов, но опыт повседневный и привычный. Когда человек ходит, сопротивление воздуха практически не влияет и не беспокоит их.Однако, если человек протягивает руку из окна превышения скорости машина, они ощутимо чувствуют сопротивление воздуха. Таким образом, скорость или скорость — это определяющий фактор сопротивления воздуха.
Сопротивление воздуха пропорционально площади поверхности объекта. (Изображение: Савицкая Ирина / Shutterstock)
Скорость

Скорость и сопротивление воздуха пропорциональны. Математически иногда он пропорционален квадрату скорость. Тем не менее, с увеличением скорости увеличивается и сопротивление воздуха.Когда объект выстрелил или бросил, в первый момент он имеет наибольшую скорость и, следовательно, испытывает наибольшее сопротивление воздуха. Сопротивление толкает объект назад или, другими словами, тянет его назад. Этот откат сила называется силой сопротивления.

Узнайте больше о том, что внутри атомов?

Сила сопротивления

Когда сопротивление воздуха является максимальным, создаваемая им сила называется «сопротивлением», то есть под углом, противоположным направлению движения.Перетаскивание состоит из двух компонентов: горизонтального и вертикального. В зависимости от угла движения один компонент может быть больше другого. Следовательно, и гравитация, и сопротивление пытаются замедлить движущийся объект, первый в вертикальном, а второй в горизонтальном направлении.

Причина, по которой объект движение в воздухе отличается от идеальной параболы — сила сопротивления. Очень Важным фактором сопротивления является плотность жидкости. Сила перетаскивания в воздухе на большая высота, нормальный воздух, а в воде другое.Еще один важный фактор — форма и размер объекта.

Это стенограмма из серии видео Понимание неправильных представлений о науке . Смотрите сейчас на Wondrium.

Форма и размер объекта

Бейсбольный мяч может весить как как взорванный пляжный мяч, но траектория бейсбольного мяча гораздо больше похожа на парабола, чем пляжный мяч. Пляжный мяч имеет большую площадь поверхности и подвергается большему сопротивлению воздуха, т. е. силе сопротивления.В случае платка весит такой же, как бейсбольный мяч, движение будет еще более затруднено сопротивление. Что делать, если объект падает с очень большого расстояния над земля?
Правильный вес, скорость и площадь поверхности делают возможным полет в воздухе. (Изображение: Маттео Артени / Shutterstock)
Падение с большой высоты

Когда объект падает, его начальная скорость равна нулю. Свободное падение может быть хорошим примером. Когда человек прыгают с самолета, горизонтального движения у них нет, а их вертикальное движение зависит от силы тяжести и сопротивления вверх.Таким образом, скорость при падающего человека: скорость равна отрицательному g, умноженному на время. Делает это означает, что скорость будет продолжать расти по мере того, как объект продолжает падать дальше вниз?

Через некоторое время гравитация сила и сила сопротивления, направленная вверх, увеличиваются в равной степени. Следовательно, человек ускорение прекращается, и скорость достигает своего максимума. Максимальная скорость падение называется предельной скоростью.

Узнайте больше о неправильном понимании теории относительности.

Конечная скорость

Конечная скорость — это результат уравновешивания гравитации и восходящего сопротивления.Например, парашютист в обычном положении, т. е. с раскинутыми руками и лицом к земле, достигает предельной скорости около 120 миль в час. Когда открытый парашют прилагается, конечная скорость снижается до 12 миль в час, в идеале медленная достаточно, чтобы приземлиться и уйти.

Соответственно на падение влияет от множества факторов, а контролируемая часть — это поверхность объекта. площадь, угол и вес. Сочетание этих элементов управления и правил физики сделал возможным прыжки с парашютом и свободное падение.

Общие вопросы о сопротивлении воздуху
Q: Какой пример сопротивления воздуха?
Сопротивление воздуха возникает, когда объект движется по воздуху. В зависимости от скорости, формы и площади объекта сопротивление различается. Чем быстрее движется объект и чем больше его площадь, тем выше сопротивление воздуха. Парашюты поднимаются в воздух, так как площадь достаточно велика, чтобы создать достаточное сопротивление, чтобы подтолкнуть парашют вверх. Полет — знакомый пример, когда легко чувствуется сопротивление воздуха.
Q: От чего зависит сопротивление воздуха?
Сопротивление воздуха зависит от скорости, площади и формы объекта, движущегося в воздухе. Высота, температура и влажность изменяют плотность воздуха и, следовательно, его сопротивление. Чем выше скорость и больше площадь, тем выше сопротивление.
В: Как рассчитать сопротивление воздуха?
Сопротивление воздуха можно рассчитать, умножив плотность воздуха на коэффициент сопротивления, умножив на площадь более двух, а затем умножив на квадрат скорости.Иногда для упрощения других уравнений некоторые элементы считаются постоянными. Единица измерения силы сопротивления воздуха — ньютоны (Н).
В: Почему сопротивление воздуха замедляет работу?
При сопротивлении воздуха ускорение при падении становится меньше силы тяжести (g), поскольку сопротивление воздуха влияет на движение падающего объекта, замедляя его. Насколько он замедляет объект, зависит от площади поверхности объекта и его скорости. Обычно сопротивление не очень велико на низкой скорости или для небольших или острых предметов.

Продолжайте читать

Ранние исследования единой теории поля
Что такое единая теория поля Эйнштейна?
Единая теория поля: Эйнштейн потерпел неудачу, но что насчет будущего?

Сопротивление воздуху — Процедура

Оборудование

Три маленьких кофейных фильтра

Три больших кофейных фильтра

Метрическая палочка

Обзор

Прочтение всей процедуры перед запуском значительно упростит эксперимент!
В этом эксперименте вы будете выполнять эти задачи (каждая из них более подробно описана в подразделах ниже).

1
Вы будете измерять скорость нескольких движущихся объектов разной массы и размера.

•
Объекты будут представлять собой стопки из 1, 2 или 3 кофейных фильтров большого или маленького размера.

2
Вы определите величину F _air, сопротивление воздуха на каждом объекте.

3
Вы построите график | F _воздух | по сравнению с и в Excel ^®.

4
Вы приспособите линию тренда к кривой степенного закона, чтобы найти значение показателя n в следующем уравнении.

(1)
| F _воздух | = константа · v ⁿ
Процедура
Распечатайте лист для этой лабораторной работы. Этот лист понадобится вам для записи ваших данных.

В связи с характером этой лабораторной работы вы будете записывать свои данные, расчеты и графики в электронную таблицу Excel ^®.Вы загрузите эту таблицу в WebAssign.
Конечная скорость
Без детектора движения лучший способ измерить скорость — подождать, пока скорость стать постоянным. Почему скорость станет постоянной?

•
Если сила сопротивления воздуха увеличивается по мере увеличения скорости (как показывают уравнения (1) и (2) в разделе «Сопротивление воздуха — концепции»), в конечном итоге сила сопротивления воздуха станет равной по величине гравитационная сила на объекте.В этот момент чистая сила, действующая на объект, равна нулю. и скорость объекта перестает меняться. Эта скорость называется конечной скоростью, v _T.

По мере увеличения скорости падающего фильтра
| F _air |
увеличивается (время 1 и время 2) до
| F _air | = | F _grav |
(Время 3). Когда чистая сила равна нулю, фильтр достигает предельной скорости.
1
Запишите массу фильтров.
2
Измерьте конечную скорость.

а
Бросьте объект (1, 2 или 3 фильтра) с высоты.

б
Чтобы убедиться, что конечная скорость достигнута, учитывает только последний метр падения .

с
Повторите каждое измерение 4 раза, а затем усредните их, чтобы получить более точные измерения.

3
Повторите шаг 2 для каждого объекта (всего 24 измерения).
Определение величины |
F _воздух | После достижения конечной скорости | F _воздух | = | F _грав |.
1
Рассчитать | F _воздух | для каждого объекта.
Графическое изображение данных

1
Используйте предоставленную электронную таблицу Excel ^® для систематизации данных.
2
Постройте график для маленьких фильтров и второй график для больших фильтров.

а
Чтобы построить график, нажмите «Диаграммы» на ленте или выберите «Диаграмма …» в меню «Вставить».

б
Используйте диаграмму рассеяния (, а не диаграмму с соединенными точками) с силой на оси y и конечной скоростью на оси x .

Определение зависимости от скорости

1
Для каждого размера фильтра используйте степенную подгонку, чтобы определить значение n .

а
Щелкните данные правой кнопкой мыши или перейдите в меню «Диаграмма» и выберите «Добавить линию тренда».

б
В типе линии тренда выберите «мощность», а в параметрах установите флажок, чтобы отобразить уравнение.

с
Это соответствует данным уравнению 1 | F _воздух | = константа · v ⁿ , позволяющая определить значение экспоненты, n .

Результаты

1
Сравните свои результаты с уравнениями в Air Resistance — Concepts. Какой из них лучше всего подходит для моделирования сопротивления воздуха падающего фильтра? Была ли разница между фильтрами разных размеров?
2
Включите файл Excel ^® с данными и графиками в WebAssign.
Вопросы
Полное уравнение для модели сопротивления воздуха, которая использует v ², выглядит следующим образом: где C _d — коэффициент лобового сопротивления, ρ — плотность воздуха, а A — площадь поперечного сечения передней поверхности.
1
Как это уравнение соотносится с вашими данными? Заполните Таблицу 3, используя один набор данных о конечной скорости и силе воздушного потока для каждого типа фильтра. Вам нужно будет определить соответствующую область для фильтра и найти данные о плотности воздуха. Коэффициент лобового сопротивления для круглой передней поверхности составляет приблизительно 0,47 (оборки усложняют форму, но это можно использовать в качестве приближения).
2
Судя по разнице в процентах между вашей измеренной силой сопротивления воздуха и расчетным значением с использованием этого метода, как бы вы сказали, что эта модель соответствует вашим данным? Что лучше подходит для большого или маленького фильтра? Почему это могло быть? Какие источники могут способствовать появлению различий, с которыми вы столкнулись?
Авторские права © 2013 Advanced Instructional Systems, Inc.и государственный университет Северной Каролины | Кредиты

Давайте изучим сопротивление воздуха — с помощью кофейных фильтров

Да. Кофейный фильтр идеально подходит для исследования сопротивления воздуха. Когда вы его роняете, он в основном движется прямо вниз в устойчивом положении из-за угловых сторон. Кроме того, если его уронить с разумной высоты (например, 2 метра), он все равно достигнет предельной скорости. Наконец, вы можете складывать фильтры для кофе и ронять их. Если вы сложите три фильтра, вы эффективно измените массу объекта, но не параметры силы перетаскивания (форму и площадь).

Но что такое предельная скорость? Я отвечу на это, рассмотрев падающий кофейный фильтр. Предположим, я позволил ему упасть с некоторой высоты. Сразу после выпуска кофейный фильтр не двигается. Поскольку у него нулевая скорость, сила сопротивления также равна нулю. Единственная сила, действующая на фильтр, — это сила тяжести (масса, умноженная на гравитационное поле g ), поэтому он ускоряется вниз с ускорением -9,8 м ² (как и любой другой падающий объект).

Однако, поскольку фильтр ускоряется вниз, его скорость увеличивается.Увеличение скорости означает, что теперь есть сила сопротивления, толкающая вверх (поскольку она движется вниз).

Теперь, когда на фильтр действуют две силы, общая сила в вертикальном направлении меньше, чем была при его первом снятии. При меньшей силе у него будет меньшее ускорение, но оно все равно будет ускоряться. В конце концов, его скорость достигнет точки, в которой сила сопротивления воздуха будет равна по величине силе гравитации.

При одинаковой величине сил результирующая сила равна нулю.Это означает, что ускорение также равно нулю м / с ². В этот момент фильтр больше не ускоряется, и это называется предельной скоростью. Конечная скорость очень полезна, поскольку ее можно использовать для определения коэффициентов сопротивления. Итак, на предельной скорости я могу написать следующее выражение. Обратите внимание: поскольку сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости, я просто собираюсь объединить все другие константы в одну константу, которую я запишу как K .

Я могу использовать это отношение для получения некоторых данных.Вот что я сделаю. Я брошу кофейный фильтр и найду его предельную скорость. Затем я сложу два кофейных фильтра и уроню их. С двумя фильтрами масса и, следовательно, конечная скорость будут выше. Повторяя это, я могу получить данные о массе и конечной скорости для построения графика, который затем даст мне коэффициент сопротивления.

Экспериментальное измерение

Как именно я могу получить предельную скорость для падающего кофейного фильтра? Есть несколько методов, которые, вероятно, сработают, но в этом случае я собираюсь использовать детектор движения.Это устройство излучает звуковой импульс и измеряет время, за которое этот импульс отразится от объекта и вернется к детектору. Это довольно полезное устройство для измерения движения в одном измерении. В этом случае я могу просто поставить детектор на пол (направленным вверх), а затем уронить на него кофейный фильтр. Вот данные, которые я получаю.

Что такое сопротивление воздуха? — Вселенная сегодня

Здесь, на Земле, мы склонны воспринимать сопротивление воздуха (также известное как «сопротивление») как должное. Мы просто предполагаем, что когда мы бросаем мяч, запускаем самолет, спускаемся с орбиты космического корабля или стреляем пулей из пушки, то ее движение через нашу атмосферу естественным образом замедлит ее.Но в чем причина этого? Каким образом воздух может замедлить объект, находится ли он в свободном падении или в полете?

Из-за того, что мы полагаемся на воздушные путешествия, наш энтузиазм в освоении космоса, а также нашу любовь к спорту и доставке вещей в воздух (включая нас самих), понимание сопротивления воздуха является ключом к пониманию физики и неотъемлемой частью многих научных дисциплин. Как часть дисциплины, известной как гидродинамика, она применяется в областях аэродинамики, гидродинамики, астрофизики и ядерной физики (и это лишь некоторые из них).

Определение:

По определению, сопротивление воздуха описывает силы, которые противостоят относительному движению объекта, когда он проходит через воздух. Эти силы сопротивления действуют противоположно скорости набегающего потока, замедляя тем самым объект. В отличие от других сил сопротивления, сопротивление напрямую зависит от скорости, поскольку это составляющая чистой аэродинамической силы, действующая противоположно направлению движения.

Другими словами, сопротивление воздуха — это результат столкновений передней поверхности объекта с молекулами воздуха.Таким образом, можно сказать, что двумя наиболее распространенными факторами, которые имеют прямое влияние на величину сопротивления воздуха, являются скорость объекта и площадь поперечного сечения объекта. Следовательно, увеличение скорости и площади поперечного сечения приведет к увеличению сопротивления воздуха.
Изображение, показывающее пулю и воздух, обтекающий ее, что дает визуальное представление о сопротивлении воздуха. Источники: Эндрю Дэвидхази / Рочестерский технологический институт
С точки зрения аэродинамики и полета сопротивление относится как к силам, действующим противоположно тяге, так и к силам, действующим перпендикулярно к ней (т.е. поднимать). В астродинамике сопротивление атмосферы является как положительной, так и отрицательной силой в зависимости от ситуации. Это одновременно и утечка топлива, и эффективность во время взлета, и экономия топлива при возвращении космического корабля на Землю с орбиты.

Расчет сопротивления воздуха:

Сопротивление воздуха обычно рассчитывается с использованием «уравнения сопротивления», которое определяет силу, испытываемую объектом, движущимся в жидкости или газе с относительно большой скоростью. Математически это можно выразить как:

В этом уравнении FD представляет силу сопротивления, p — плотность жидкости, v — скорость объекта относительно звука, A — площадь поперечного сечения и CD — коэффициент лобового сопротивления.Результатом является то, что называется «квадратичным сопротивлением». Как только это определено, вычисление количества энергии, необходимой для преодоления сопротивления, включает аналогичный процесс, который математически можно выразить как:

Здесь Pd — мощность, необходимая для преодоления силы сопротивления, Fd — сила сопротивления, v — скорость, p — плотность жидкости, v — скорость объекта относительно для звука A — это площадь поперечного сечения, а Cd — коэффициент лобового сопротивления.Как видно, потребность в мощности — это куб скорости, поэтому, если требуется 10 лошадиных сил, чтобы разогнаться до 80 км / ч, потребуется 80 лошадиных сил, чтобы разогнаться до 160 км / ч. Короче говоря, удвоение скорости требует приложения в восемь раз большей мощности.
F-22 Raptor развивает скорость, достаточную для создания звукового удара. Кредит: strangesounds.org
Типы сопротивления воздуху:

В аэродинамике есть три основных типа сопротивления: индуцированное подъемной силой, паразитное и волновое. Каждый из них влияет на способность объекта оставаться в воздухе, а также на мощность и топливо, необходимые для его удержания.Вызванное подъемной силой (или просто индуцированное) сопротивление возникает в результате создания подъемной силы на трехмерном подъемном теле (крыле или фюзеляже). Он состоит из двух основных компонентов: вихревого сопротивления и вязкого сопротивления, вызванного подъемной силой.

Вихри возникают в результате турбулентного перемешивания воздуха с переменным давлением на верхней и нижней поверхностях тела. Они нужны для создания лифта. По мере увеличения подъемной силы увеличивается и сопротивление, вызванное подъемной силой. Для самолета это означает, что по мере увеличения угла атаки и коэффициента подъемной силы до точки сваливания увеличивается и сопротивление, вызываемое подъемной силой.

Напротив, паразитное сопротивление вызывается движением твердого объекта в жидкости. Этот тип перетаскивания состоит из нескольких компонентов, в том числе «перетаскивания формы» и «сопротивления поверхностного трения». В авиации индуцированное сопротивление имеет тенденцию к увеличению на более низких скоростях, потому что для поддержания подъемной силы требуется большой угол атаки, поэтому с увеличением скорости это сопротивление становится намного меньше, но паразитное сопротивление увеличивается, потому что жидкость быстрее течет вокруг выступающих объектов, увеличивая трение. Комбинированная кривая общего сопротивления минимальна на некоторых скоростях и будет близка к оптимальной эффективности.
Шаттл «Колумбия» запускает свой первый рейс 12 апреля 1981 года. Предоставлено: NASA.
Волновое сопротивление (сопротивление сжимаемости) создается наличием тела, движущегося с высокой скоростью в сжимаемой жидкости. В аэродинамике волновое сопротивление складывается из множества составляющих в зависимости от скоростного режима полета. В трансзвуковом полете — со скоростью 0,5 Маха или больше, но все же меньше 1,0 Маха (также известной как скорость звука) — волновое сопротивление является результатом местного сверхзвукового потока.

Сверхзвуковой поток возникает на телах, движущихся значительно ниже скорости звука, поскольку местная скорость воздуха на теле увеличивается, когда оно ускоряется над телом.Короче говоря, летательные аппараты, летящие с околозвуковой скоростью, в результате часто испытывают волновое сопротивление. Это увеличивается, когда скорость самолета приближается к звуковому барьеру в 1,0 Маха, прежде чем он станет сверхзвуковым объектом.

В сверхзвуковом полете волновое сопротивление является результатом наклонных ударных волн, образующихся на передней и задней кромках тела. В сильно сверхзвуковых потоках вместо них образуются головные волны. На сверхзвуковых скоростях волновое сопротивление обычно разделяется на две составляющие: волновое сопротивление, зависящее от сверхзвуковой подъемной силы, и волновое сопротивление, зависящее от сверхзвукового объема.

Понимание роли воздушного трения в полете, знание его механики и знание видов силы, необходимой для его преодоления, — все это имеет решающее значение, когда дело доходит до аэрокосмической техники и исследования космоса.

[ r_min =	l (v₂ sin β − v₁ sin α)	]
	√(v₁² + v₂² + 2v₁v₂cos(α + β))

(	t₁² + t₂²	)² — не является целым числом,
	2t₁t₂

[ w =	1	(v₁ sin α + √(v₂² − v₁²cos²α)) ≈ 2 рад/с. ]
	l

[ v_n =	1 км	=	1 км × 3600	=	120		км	= 120 км/ч, 40 км/ч, 24 км/ч …]
	(30 + 60n) c		(30 + 60n) час		2n + 1		ч