Как сделать развал-схождение колес? — читайте в блоге Шип-Шип

Ходовая система любого авто работает без нареканий, если показатели развала и схождения колес находится в норме. Отклонение параметров приводит к проблемам:

• покрышки быстро и неравномерно изнашиваются;
• машина теряет курсовую устойчивость и «не слушается» при управлении;
• появляется люфт рулевой рейки. Руль смещает положение при движении авто по прямой траектории. Чтобы сохранить прямолинейность движения, приходится с силой держаться за руль;
• штоки амортизаторов испытывают дополнительную нагрузку;
• быстро изнашиваются детали и расходники: шрус, сайлентблок, рулевая рейка.

Избежать негативных последствий можно только благодаря своевременным техобслуживанию и ремонту. Попробуем разобраться, как сделать развал-схождение колес, какие нюансы нужно учитывать и с чего начать процедуру «настройки».

Развал-схождение колес: расшифровка понятий

Изменение угла положения колес относительно друг друга и дорожного полотна ведет к потере управляемости транспортного средства. Каждый производитель устанавливает для авто свои значения углов.

Схождение, развал и кастер — углы установки колес. Эти параметры имеют регламентируемые значения.

• Развал

  Угол, указывающий на положение шины по отношению к дорожному покрытию. Если угол в минусе, шины становятся «домиком» — «M». Если угол в плюсе, верх шины смотрит наружу, а нижняя часть — внутрь «W».

• Схождение

  При положительном угле плоскость вращения шины пересекается впереди авто. При отрицательном угле плоскость вращения пересекается сзади — покрышка уходит назад.

• Кастер

  Продольный угол образуется вертикалью и осью поворота шины на продольную плоскость транспортного средства. Если кастер в плюсе, ось наклоняется назад, а если в минусе — вперед.

Когда требуется регулировка развала-схождения

Сход-развал задних и передних колес проверяют ежегодно: весной, когда зимние покрышки меняются на летние, и зимой, когда летняя резина меняется на зимнюю.

За сезон колесо машины может неоднократно заскочить в яму, налететь на лежачего полицейского или ухабину. Все это приводит к расшатыванию подвески и изменению углов положения колес.

Своевременная регулировка стоит дешевле, чем капремонт ходовой.

Делать развал-схождение передних колес нужно и при обнаружении неисправностей: отклонение в траектории при прямолинейном движении, потеря управляемости, преждевременный износ автопокрышек и другие признаки изменения угла установки шин.

Важно. Проверку углов проводят сразу же после ДТП или попадания в глубокую яму. Специалисты также рекомендуют проверять колеса после 20–30 тысяч километров пробега.

Как сделать развал-схождение колес самому

Услуги автомастерских — недешевое удовольствие. Поэтому опытные автовладельцы часто регулируют углы расположения колес в условиях, далеких от профессиональных.

Гаражная диагностика бывает эффективной, но только при условии, если вы обладаете необходимыми знаниями, опытом и владеете методиками. В остальных случаях рационально обратиться к квалифицированному специалисту, что позволит сэкономить время и получить качественный результат.

Чтобы проверить схождение колес своими руками, транспортное средство поставьте на ровный твердый пол.

• Руль должен стоять прямо — «на нуле». Это позволит выставить колеса в положение, в котором они прибывают, когда движутся по прямой.
• Не допускается дополнительно нагружать подвеску: поднимать машину на домкрате, ставить на подъемник. При подъеме подвеска разгружается, а во время опускания на пол колеса становятся неровно. Погрешность устраняют специальными сдвижными платформами, но в обычном гараже такие приспособления редко имеются.
• Замеры начинают с регулировки схождения колес. Значение определяют для каждой шины, сравнивают с указанием производителя.

Последовательность действий зависит от конструкции ходовой системы. Регулировка развала и схождения колес состоит из нескольких этапов:

1. Поставить транспорт на ровный пол с ямой.
2. Проверить работоспособность подвески и рулевой части. Устранить неполадки, а изношенные расходники заменить.
3. Измерить давление в покрышках и целостность дисков, размерность колес. Устранить неточности.
4. Поставить колеса ровно.
5. Приступить к замерам.

Советы по развал-схождению колес своими руками

Регулировка начинается с проверки ходовой системы машины. Все неисправности нужно отремонтировать. Только после устранения неполадок начинают работу по настройке углов колес.

Помните и о факторах, которые определяют углы положения колес:

• исправность ходовой системы;
• уровень давления в автопокрышках;
• загруженность машины.

Давление в шинах предварительно выравнивают. Авто ставится на диагностику без дополнительной нагрузки.

Если проводился ремонт ходовой системы, желательно перед разбором подвески выделить все соединения, которые разъединятся. Рекомендуется также посчитать обороты при выворачивании руля.

Эти простые советы используют не только гаражные мастера, но и квалифицированные автомеханики, которые используют для развала-схождения задних и передних колес метод компьютерной диагностики.

Как самостоятельно сделать развал/схождения колес на примере ВАЗ 2110

После замены амортизаторов на передних колесах, необходимо сделать геометрию колес. Что нам понадобится для того, чтобы сделать развал-схождение.

Нам понадобится: набор инструментов:

и два вот таких блина, спокойно вращающиеся вокруг своей оси.

Думаю сделать их самостоятельно несложно. Между собой они должны быть независимыми, так как при регулировке одного колеса, второе должно стоять, не меняя положение.

Также нам понадобится вот такой отвес:

и две равные планки.

В нашем случае они по 60 сантиметров.
Ещё нам пригодится рулетка и два куска алюминиевой проволоки. Первым делом нужно проверить уровнем кривизну пола помещения, где собираетесь производить регулировку.

Если полы неровные, то устанавливая блины, нужно добиться одинакового уровня между ними.
Теперь загоняем автомобиль на наши блины, вот в эту часть передними колесами,

для того, чтобы можно было сделать развал.

Когда закончим с развалом, то переставим автомобиль по центру блинов, для регулировки схождения.
На автомобилях с передним приводом типа: Самара, Лада, 2108-2110, развал колес может быть как отрицательным, так и положительным.

В литературе говорится, что развал может быть от 0°±30′. Это приблизительно 2-2,5 мм. зазора. Получается что будет зазор либо в отрицательную, либо в положительную сторону.

Мы будем делать развал отрицательный, то есть колеса будут стоять буквой “М”, и сделаем мы его где-то около 1 мин. 30 сек.

Процесс регулировки развал/схождения.

Перед началом регулировки развал/схождения, не забудьте проверить давление в шинах и при необходимости выровнять его.

Если угол развала отличается от нормы, то отрегулируйте его. Для этого ослабьте гайки верхнего и нижнего болтов и, поворачивая верхний регулировочный болт, установите необходимый угол развала колес. По окончании регулировки затяните гайки моментом 88,2 Н·м (9 кгс·м).

После того, как мы отрегулировали развал, то получили показатели около 1м. 30сек.
На нашем отвесе приварена пластина толщиной 2,2 мм.

Когда мы прикладываем его к диску, то уровень должен быть равным. Тесть пузырь находится по центру.

Также регулируется развал и на втором колесе, там делаем такой же угол.

Теперь приступаем к регулировке схождения данных колес.

Переставляем автомобиль колесами по центру блинов. К передним дискам, вот таким образом крепим с помощью алюминиевой проволоки планку.

На краю планки есть небольшой гвоздик, за который мы закрепим рулетку.

Тоже самое делаем с обратной стороны.
Теперь протягиваем капроновую нить с таким расчетом, чтобы она в этом месте не задевала обод.

На автомобилях Российского производства, задняя балка уже передней колеи колес. Поэтому нам нужно подложить под нить, на заднем колесе, обычную крышку от пластиковой бутылки.

С другой стороны все должно быть идентично.
Далее делаем промеры передних колес рулеткой и начинаем регулировку схождения колес. Результаты всех замеров записываем на бумагу.

В нашем случае получилось:

• передние часть колеса 163,7 см;
• задние часть колеса 162,6 см:
• левое колесо, зазор 8 мм;
• с правой стороны получился зазор 5 мм.

В результате замеров у нас получилось расхождение в 11 мм. Зазор смотрим тут, то есть между ниткой и покрышкой.

Чтобы нам сделать схождение, нужно примерно выставить зазор 1-1,5мм., а ширина должна получиться 163,5 см.

Теперь регулируем схождение.

Схождение регулируется вращением регулировочных тяг при ослабленных стяжных болтах наконечников рулевых тяг.

Когда обе тяги подкручены, производим замеры
.
Должно получиться на переднем колесе следующее:

• При замере в передней части колеса, расстояние должно быть 163,1 см;
• При замере задней части колеса, расстояние между ними должно быть ровно 163 см., то есть мы видим разницу в один миллиметр;
• Зазор между ниткой должен быть равен 1 мм.

Колесо с другой стороны должно быть с такими же показателями.

Данная регулировка колес весьма проста, которую свободно может сделать любой в гаражных условиях, не прибегая к никаким автосервисам. Также, такая регулировка поможет вам сэкономить деньги и нервы.

Сделав регулировку самостоятельно, вы будете намного спокойнее и увереннее, сами увидите результаты и останетесь довольны.

Как сделать развал-схождение колес — регулировка развала-схождения

Рано или поздно в автомобилях любой модели или страны-производителя возникает необходимость ремонта передней подвески. Связано это может быть практически с любым нюансом: от замены сайлентблока или шруса до замены амортизаторов или пружин к ним. Если ремонт производится самостоятельно, то велика вероятность нарушить схождение колес очень велика.

Что такое развал-схождение колес

Что такое развал и схождение колес

Термин по сути состоит из двух разных понятий:

• Развал колес – отклонение колеса от вертикальной оси плоскости вращения. Например, при положительном угле развала нижняя часть колеса будет направлена наружу.
• Схождение колес – это отклонения плоскости вращения колеса от направления движения.

Соответственно обобщенный термин развал-схождение позволяет оценить насколько неровно установлено колесо относительно продольной и поперечной оси движения.

Зачем необходимо делать развал-схождение

Положительный и отрицательный развал

Правильно выставленные углы развала и схождения колес необходимы для:

• Повышения безопасности движения. При неправильно выставленном угле ухудшается чувствительность колес к манипуляциям рулем.
• Снижение износа покрышек – при значительном отклонении колес по горизонтальной или продольной оси автомобиля уменьшается площадь соприкосновения покрышки колеса с дорожной поверхностью. Соответственно покрышка быстрее изнашивается.
• Улучшения стабилизации автомобиля на дороге. При неверно выставленном угле развала или схождения автомобиль начинает «тянуть» в одну из сторон, и его приходится постоянно контролировать.

Признаки необходимости регулировки развала-схождения колес

Иногда неправильный развал-схождение определяется на глаз

Признаков, при которых необходимо обязательно проверить углы развала и схождения множество, но стоит упомянуть наиболее часто встречающиеся:

• Автомобиль при движении прямо на ровной дороге начинает существенно «тянуть» в одну из сторон. Для движения прямо автовладельцу необходимо постоянно поправлять траекторию движения автомобиля или компенсировать уход постоянным выворотом руля.
• При осмотре покрышек колес автомобиля заметны явные признаки истирания с одной из сторон. Обычно заметнее всего эти следы видны на кромке покрышки.
• Стоит также назвать не совсем признак, а следствие. Развал-схождение необходимо сделать при замене покрышек, произведенном ремонте передней или задней подвески. При этом развал-схождение задней подвески необходимо проверять для иностранных автомобилей, потому как в отечественных автомобилях такая регулировка не предусмотрена.

Вообще процедуру проверки угла развала-схождения необходимо периодически контролировать, даже если на автомобиле не производились ремонтные работы, а он просто передвигался по дорогам.

Способы регулировки развала-схождения

Профессиональная регулировка развала-схождения

Способов на самом деле несколько, но стоит описать наиболее популярные. Вообще, все способы осуществления работ с подвеской автомобиля можно разделить на две части:

• Доверить свой автомобиль специалистам станции технического обслуживания.
• Обслуживать и производить все виды ремонтных работ самостоятельно.

Для того чтобы определиться какой из способов выбрать и как сделать развал-схождение колес, необходимо сперва понять для себя, насколько вы готовы оплачивать чужую работу. Если лишних денег в наличии нет, то стоит выбрать способ самостоятельной регулировки развала и схождения.

Как сделать развал-схождение колес своими руками

Болт-эксцентрик

Этот материал будет полезен тем автолюбителям, которые решили произвести ремонтные работы самостоятельно, но не знают, как сделать развал-схождения своими руками. Следует действовать нехитрой последовательностью и у вас все получится.

• Установите автомобиль на ровную поверхность, предварительно обеспечив доступ к рулевым тягам и рулевой рейке. Как вариант может подойти гараж со смотровой ямой или эстакада. Переднюю часть автомобиля можно немного поддомкратить, чтобы на колеса не полностью действовала масса автомобиля, тогда будет проще производить доводку.
• Затем колеса выравниваются как для езды прямо. Руль желательно закрепить, если нечем, то для исправления развала-схождения понадобятся два человека, один из которых будет держать руль в одном положении.
• После выставления колес в прямом положении понадобится мел, отвес и точная линейка или штангенциркуль. При помощи мела делаются отметки по диаметру колеса. Затем при помощи линейки и отвеса измеряются расстояния у верхней и нижней отметки относительно края крыла автомобиля. Замеры лучше произвести несколько раз чтобы быть уверенным в правильности результата.
• Затем необходимо ослабить кронштейн крепления стойки амортизатора и провернуть кулачек крепления на полученную разность между верхней и нижней меткой, и отвесом в предыдущем измерении. Затем колесо закрепляется.

Можно приступать к регулировке схождения колес для этого можно воспользоваться линейкой или специальной раздвижной штангой.

• Руль необходимо продолжать удерживать в положении для прямолинейного движения автомобиля.
• На внутренней стороне колес ставится мелом метка, и замеряется между ними расстояние.
• Колеса проворачиваются на 90 градусов и проводятся 4 замера.

Если расстояния, измеренные линейкой отличаются, то они поправляются при помощи регулировки длины рулевых тяг – устраняем разницу в измерениях.

Видео

А так можно отрегулировать развал-схождение в гаражных условиях:

Как самостоятельно сделать схождение колес

С помощью простых приспособлений и различных материалов можно без затруднений отрегулировать угол развала схождения колес авто. Из этой статьи вы узнаете подробное описание того, как можно сделать развал-схождение без вмешательства профессионалов, и с какими трудностями вам придется столкнуться.

Что это такое и для чего нужно?

Чтобы научиться правильно регулировать угол развал схождения, необходимо разобраться в терминологии. Какие есть виды установления колес и как это влияет на работу всего транспорта? Развал – это угол наклона вертикальной плоскостью колеса. При правильной регулировке покрышка будет плотно контактировать с дорогой.

Схождение – это ракурс наклона направления движения и плоскости колес. При правильной регулировке машина будет четче делать повороты, шины будут меньше изнашиваться. У заднепроходных машин колеса должны смещаться к середине оси соединения колес. Такое схождение называют положительным. При движении они отводятся в сторону и находятся параллельно друг от друга. Переднеприводные машины нужно наоборот, устанавливать отрицательно. Т.е. колеса должны быть направлены друг от друга.

Кастер – угол наклона продольных шкворней. Его подробно рассматривать мы не будем, т.к. их регулировка нужна только при покупке новых деталей подвески. За расположением развала-схождения нужно следить постоянно. Угол может изменяться от ежедневной езды. Также заново нужно настраивать тогда, когда заменяются амортизаторы или рулевой шарнир. Также угол может изменяться от наезда на бордюры, кочки, ямы. Угол меняет свое направление и его нужно отрегулировать. Если этим приобрести, резина будет очень быстро изнашиваться. А приобрести новую резину гораздо дороже, чем несколько раз в год отрегулировать угол развал-схождения. Исправлять его нужно 2 раза в год. Желательно во время замены страрых покрышек.

Делаем схождение колес

Все действия будем рассматривать на примере автомобиля ВАЗ. Все действия нужно выполнять по следующему списку:

• Установите автомобиля на ровную площадку. Из-за неровной поверхности могут возникнуть погрешности, которые потом будет трудно исправить.
• Далее необходимо поставить на ободке колеса две отметки. Можно мелом или любыми другими инструментами. Отметки вертикальные, две, одна снизу, вторая сверху.
• Необходимо приобрести плотную нить и приложить ее к крылу. Далее измеряем расстояние от нити до двух меток на колесе. Погрешность может быть 3 мм. Ободок колеса не всегда идеально ровный. Поэтому желательно немного сдвинуться с места и сделать новые метки, на колесе, повернутом на 90 градусов. Все действия повторяем.
• Повторите на противоположномколесе и зафиксируйте значения.
• Далее сдвиньтесь с места и поверните авто на другую сторону. Опять сделайте и зафиксируйте замеры.
• Снимите колесо с оси и ключом на 19 ослабьте болты крепления.
• Поворотный кулак необходимо повернуть тем же ключом. Прокрутить так, чтобы появился необходимый угол развала.
• Верните болты и колесо на место. Опустите транспорт и несколько раз качните.
• Далее остается только удостовериться в правильной регулировке, для этого вновь сделайте замеры и сравните с предыдущими.

Если не отрегулировать развал-схождение, могут возникнуть проблемы с вождением авто. Покрышки станут быстро изнашиваться и при прямолинейном движении автотранспорт будет отклоняться в разные стороны.

 

 

Как сделать развал-схождение своими руками: пошаговая инструкция

 

Регулировка развала схождения своими руками возможна даже при использовании подручных предметов. Однако неправильно проведенная процедура часто приводит к быстрому изнашиванию шин, либо отклонению авто в сторону при движении по прямолинейной траектории. Рассмотрим, что представляет собой процесс регулировки, и с какими сложностями может столкнуться водитель при самостоятельном ремонте.

Что представляет собой развал схождение?

Развал — это угол, образованный вертикалью и плоскостью колес. С помощью него возникает тесный контакт между шинами и дорожным покрытием. Грамотно выставленные углы и схождение колес гарантируют полноценную работу подвески. Если они в один момент начнут отклоняться от нормальных показателей, то это повлечет за собой разные проблемы. К примеру, управляемость автомобиля станет хуже, возрастет нагрузка на шрусы или сайлентблоки.

Каждый водитель должен регулярно производить измерение развала и углов схода. Но поскольку подобные операции в автомастерской стоят немалых денег, водители ищут способы сэкономить. Они проводят работу самостоятельно в своем гараже. Прежде чем приступить к регулировке развал схождение своими руками, необходимо изучить признаки нарушений, а также инструкцию по правильной работе.

Признаки нарушенного развала 

Производители отечественных автомобилей советуют проводить регулировку каждые 10-15 тысяч пробега. Что касается иномарок, то здесь показатели немного выше — каждые 30 тысяч. 

Многие автолюбители не согласны с подобной формулировкой. Очевидно, что молодые люди на «Peugeot» или «Hyundai», разъезжая целыми днями по городу, попадают в ямы и собирают все кочки. Если сравнить их езду с ездой дедушки на ВАЗе, то становится понятно, что регулировка нужна всем, независимо от марки авто и ее состояния.

Распознать неполадки можно по следующим признакам:

 во время движений по «прямой» водитель чувствует, что машина отклоняется в сторону;

 руль перестал поворачиваться после совершения поворота;

 шины издают странные звуки;

 покрышки изнашиваются слишком быстро и делают это неравномерно;

 расход топлива увеличился;

 руль становится «тугим», управление транспортом усложняется.

При обнаружении хотя бы одного «симптома», нужно срочно прибегнуть к ремонту. Некоторые водители утверждают, что шины могут неравномерно изнашиваться из-за низкого давления внутри них. Именно поэтому сначала нужно исключить эту причину, а затем обратить внимание на другие признаки. 

Когда стоит выполнить регулировку?

Процедуру регулировки стоит проходить каждый год, желательно во время сезонной замены покрышек. В течение года автомобиль регулярно попадает в дорожные выбоины, наезжает на бордюры, а значит ходовая расшатывается и углы начинают изменяться.

Помимо плановой регулировки, процедура может проводиться внепланово. Чаще всего это происходит в следующих случаях:

 После попадания человека в аварию, в результате которой произошел сильный удар, повредивший элементы подвески.

 После долгого путешествия и вынужденной езды по бездорожью.

 После изменения клиренса авто. 

Регулировка, произведенная вовремя, убережет водителя от затрат на ремонт автомобиля и новые шины. Во времена Советского Союза люди не пользовались компьютерами. В работе с машиной они использовали лишь гаечный ключ и штангенциркуль. Разберемся, как отрегулировать развал схождение своими руками таким же способом. 

Автомастерская или собственный опыт?

Многие водители не знают, стоит ли обращаться к мастерам, если можно сделать регулировку самостоятельно. Специалисты отвечают, что собственноручно провести процедуру можно, если человек водит автомобиль марки ВАЗ, Москвич, Жигули, либо старенькую иномарку. 

Новые и современные авто подвергать подобным процедурам не стоит. Лучше доверить это опытным мастерам. СТО всегда сделает все быстро и качественно, но у сервиса если несколько недостатков:

 Хорошее и современное оборудование не гарантирует того, что на нем будет работать квалифицированный специалист. Не станет ли автомобиль хуже ездить после таких вмешательств?

После любых манипуляций с ходовой, рулевым управлением, необходимо проводить контрольные замеры РСК. Возможно, потребуют еще дополнительные регулировки.

 Хорошей мастерской в городе может не оказаться, особенно, если водитель проживает в маленьком населенном пункте. 

Список причин не обращаться в СТО можно продолжать и дальше. Именно поэтому водителю стоит задумываться перед тем, как отдавать деньги неизвестному мастеру. 

Как произвести регулировку — подробная инструкция

Прежде чем начать работу и приступить к регулировке развала схождение колес своими руками, водителю стоит провести диагностику ходовой. Если присутствуют неполадки, то делать дальнейший ремонт не имеет смысла. Подвеска в совокупности с элементами рулевого управления должны работать идеально. В противном случае регулировка будет пустой тратой времени. Водителю все равно придется устранять неисправности. 

Установка развала

Под понятием «развал» подразумевается разница между расстояниями от условных точек. Когда нижняя часть колеса по отношению к верхней — выпуклая, то развал считается отрицательным, и наоборот. Чтобы правильно отрегулировать его, необходимо придерживаться правил:

 диски колес — ровные;

 оптимальное давление в шинах;

 узлы и шарниры, присутствующие в системе подвески, работают исправно;

 руль обладает свободным ходом.

Процедуру проводят в гараже, в котором есть смотровая яма. Также понадобятся различные инструменты, включающие в себя ключи, штангенциркуль, белый мел, телескопическую линейку и нить с плоским отвесом.

Приступаем к работе, ориентируясь на инструкцию:

 Автомобиль ставят на ровную площадку над ямой или на эстакаде. Выставить колеса ровно можно «на глаз». 

 С помощью мела ставят метки на шинах в верхних и нижних боковых областях.

 Шнурок с отвесом прикрепляют к крылу. Он должна свисать параллельно диску. 

 При помощи штангенциркуля нужно измерить расстояние от веревки до нижней части диска колеса. Чтобы убедиться в правильности собственных измерений, нужно прокрутить колесо и еще раз сделать замеры.

 Колесо прокручивают еще раз и снова проделывают замеры. Полученные данные сравнивают, в них не должно быть больших расхождений. Если это не так, значит, с ходовой есть проблемы и регулировка здесь не поможет.

 Угол развала для каждой марки авто свой. Этот показатель прописывается производителем. 

 Убедившись в верности замеров, водитель должен снять колеса вместе с болтами крепления кронштейна стойки амортизатора к поворотному кулаку. Иногда болты закисают, поэтому их зачищают и смачивают жидкостью WD. 

 После этого нужно подвигать кулак и выставить углы, ориентируясь на проведенные замеры. Болты и колеса ставят на место и заново замеряют параметры. 

У транспортных средств с задним приводом могут наблюдаться погрешности. Норма углов развала колес у таких автомобилей составляет +1…+3 мм. У переднеприводных автомобилей этот показатель равняет -1…+1 мм.

Закончив работу, водителю стоит еще раз проверить затяжку болтов. Если неисправностей нет, то можно провести проверку выравнивания машины на дороге. 

Не стоит забывать, что во время ремонта нужно делать замеры как минимум 3 раза. Если автолюбитель сделал все правильно, то его машина перестанет «уходить» в сторону, а шины не будут изнашиваться слишком быстро. 

Работу придется провести заново, если автомобиль по-прежнему «уходит» с прямой траектории.

Установка углов схождения

Под понятием «схождение» подразумевается угол между направлением движения авто и поверхностью.  Регулировке подлежат как задние, так и передние колеса. Главной целью процедуры является снизить стирание шин.

Настройки схождения происходят аналогичным образом, что их регулировка развала. Однако сначала нужно провести подготовительные процедуры, смочив область под колесами мыльной водой. Можно также применить скользящие опоры. Это важно, поскольку во время операции второе колесо должно быть в неподвижном состоянии. 

После этого авто устанавливают на исходную позицию, чтобы положение колес было прямым. Руль также стоит зафиксировать длинной рейкой, пристегнув ее стяжками.

Алгоритм регулировки проходит следующим образом:

 С внутренней стороны колеса рисуют отметины мелом. 

 После этого нужно закрепить телескопическую линейку так, чтобы она не задевала узлов подвески. Двумя концами ее прикладывают к меткам. Нужно совместить указатель с нулем и зафиксировать его. 

 Автомобиль откатывают слегка вперед, при этом линейка отходит назад. Шкала инструмента укажет разницу расстояния. Нормальным считается расхождение в 1 мм. Если данный показатель выше, то потребуется корректировка.

Корректирование производится регулированием длины рулевых тяг. Если значения уменьшились, то тяги нужно укоротить. Если, наоборот, разница увеличилась, то длину тяги также увеличивают. Данный способ отлично подходит для владельцев отечественных авто. 

Заключение

Благодаря материалу из этой статьи, водители смогли узнать, как сделать развал схождение своими руками. Проведенная регулировка сход развала поможет сэкономить средства. Кроме того, работа не требует от человека глубоких технических знаний и умений. 

В автомастерских за данную услугу запрашивают круглую денежную сумму. Опытному мастеру понадобится не более 20 минут, чтобы выполнить процедуру. Но если человек считает, что справится сам, то ему стоит попробовать. 

Как сделать развал-схождения колес своими руками

Во время движения каждого автомобиля особо значительные нагрузки испытывает его ходовая часть, включающая в себя подвеску и колеса. Чтобы хоть частично снизить нагрузки, а также обеспечить прямолинейное движение машины, колеса устанавливаются под определенными углами. Помимо того имеющиеся углы колес оказывают влияние на устойчивость авто и износ шин.

Развал-схождение колес

Углов, под которыми устанавливаются колеса, несколько, одним и них является так называемый развал колес, вторым – схождение.

Развал-схождение колес. Что это и для чего?

Развал – это угол отклонения оси колеса от вертикального положения. Развал бывает положительным, когда верх колеса отклонен наружу от центра автомобиля, и отрицательный – когда верх направлен в сторону к центру авто.

Данный угол  нужен для снижения передачи на рулевое управление колебательных движений колеса при движении по неровностям. Также в задачу данного угла входит обеспечение как можно большего пятна контакта протектора ската с поверхностью трассы. Наличие данного угла еще влияет на устойчивость авто при прохождении поворотов.

Развал колес

На авто, у которых не используется подвеска МакФерсона, развал имеет небольшое положительное значение, то есть верх колес отклонен от центра авто. Обычно значение завала маленькое, около 2 градусов.

У подвески МакФерсона данный угол имеет либо нулевое значение, то есть ось колеса имеет строго перпендикулярное положение относительно поверхности дороги, либо же, в некоторых случаях, развал колес у подвески МакФерсона имеет отрицательное значение.

Отрицательные значения угла завала используются также на авто, которые участвуют в соревнованиях по круговому треку.

Следует сказать, что значительной точности при установке данного угла добиться сложно, часто его регулировка производится довольно грубо. В итоге установка угла развала приводит только к тому, что отсутствует повышенный износ шин. Также регулировка развала должна проводиться сразу на обеих колесах, иначе в дальнейшем авто будет уносить в сторону, где установлен меньший угол. Ну и с одной стороны будет значительно быстрее изнашиваться покрышка.

Схождение колес

Перейдем к углу установки колеса, который называется «схождение». Это угол, который устанавливается между плоскостью колеса и продольной осью самого авто. Данный угол нужен для снижения увода авто. Также этот угол значительно влияет на скорость износа шин. Данный угол может измеряться либо градусами, либо миллиметрами. Измерение схождения в миллиметрах довольно простое. Авто ставится на площадку, сначала измеряется расстояние между внутренними краями передних колес в задней их части, а затем в передней. Далее от значения, полученного при измерении в задней части отнимается значение, полученное при замере расстояния между колесами в передней их части. Данное значение должно иметь либо нулевое значение для подвески МакФерсона, либо положительное значение – для других видов подвески. Если значение отрицательное, данный угол имеет неправильную установку.

Кастер

Кастор – это угол продольного отклонения стойки подвески от перпендикулярного ее положения относительно поверхности дороги. Данный угол обеспечивает дополнительную стабилизацию колес в условиях их прямолинейного движения. Также он обеспечивает самостоятельное выравнивание положения колес во время езды, обеспечивая прямолинейность движения. Данный угол должен иметь одинаковое значение на обеих стойках, иначе разность данных углов может приводить к сносу авто в одну из сторон.

Как настроить развал-схождение своими руками

В большинстве случаев регулировка развал-схождения колес производится на специальных стендах с компьютерным вычислением данных углов. Однако выполнить  развал-схождение можно и в гаражных условиях, но для этого потребуется знать, как правильно выполнить установку, а также иметь оснащение для выполнения данной процедуры. Чтобы отрегулировать углы, понадобится:

• Набор ключей;
• Специальная измерительная линейка;
• Мел;
• Шнур с грузиком;
• Линейка (обычная):

Регулировка развала колес

При регулировке развала-схождения своими руками первым производится замер развала колес. Данный угол хоть и измеряется в градусах, но его можно перевести в миллиметровое значение. Последовательность действий для вычисления развала следующая:

1. Авто ставится на ровную поверхность. Желательно выполнять проверку в гараже с имеющееся в нем смотровой ямой. При этом должно иметься пространство для перемещения авто, которое нужно будет при замерах.
2. После установки авто на площадку, нужно выставить колеса, чтобы они «смотрели» ровно. После выравнивания колес, нужно нанести на колесо мелом небольшие метки. Метки ставятся вверху и внизу колеса.
3. Далее берется шнур с грузиком. Его нужно приложить к крылу авто так, чтобы шнур имел строго параллельное положение относительно нанесенных меток. Для удобства шнур можно приклеить к крылу скотчем.
4. Обычной линейкой с миллиметровыми делениями замеряется расстояние от колеса к шнуру в верхней и нижней части. Чтобы не было погрешности, данное расстояние измеряется не от шины, а от обода колеса.
5. После автомобиль нужно прокатить вперед, чтобы нанесенные метки повернулись на 90 градусов. На колесо снова вверху и внизу параллельно шнуру наносится еще две метки и снова замеряется расстояние между шнуром и ободом в верхней и нижней его частях.
6. Затем еще раз авто прокатывается, но теперь уже так, чтобы колеса провернулись на 180 град. То есть, последние две метки должны поменяться местоположением. Верхняя переместится вниз, а нижняя – вверх и снова производятся замеры.
7. Разница в трех замерах не должна значительно отличаться. Также при нормальном угле развала разница между расстояниями в верхней и нижней частях колеса при всех трех замерах должна составлять 1 мм – у авто с передним приводом, и 1-3 мм – у заднеприводной модели.
8. Если показатели отличаются, нужно провести регулировку. Для этого авто поддомкрачивается, и снимается колесо.
9. После снятия колеса потребуется отсоединение кронштейна стойки от поворотного кулака. Для этого потребуется воспользоваться подготовленным набором ключей.
10. Путем проворота эксцентрикового болта, имеющегося на поворотном кулаке, он смещается в ту или иную сторону, тем самым производится регулировка. Насколько потребуется сдвигать поворотный кулак, подскажут раннее проведенные замеры.
11. После этого кронштейн стойки соединяется с кулаком и колесо авто ставится на место. После установки развала колес нужно будет еще раз провести замеры, чтобы убедиться в правильности регулировки.

Регулируем угол схождения колес

Закончив с развалом, можно переходить к проверке и регулировке второго угла — схождения.

Последовательность проверки и регулировки данного угла такова:

1. Авто становится на площадку, колеса выравниваются.
2. С внутренней стороны колес в передней части наносятся две метки, наносить их нужно ближе к ободу.
3. Телескопическую линейку для замера схождения подготавливают, создав у нее предварительный натяг. Концы линейки нужно упереть в имеющиеся метки. Подвижную шкалу линейки нужно переместить так, чтобы отметка «0» совпала с неподвижным указателем.
4. После установки линейки авто нужно прокатить вперед, так чтобы линейка оказалась в задней части колеса. Важно при прокатывании проследить, чтобы линейка ни обо что не зацепилась.
5. Далее нужно посмотреть, имеется ли отклонение на шкале и насколько. У переднеприводных авто значение схождения должно составлять «0/+-1». Если показания линейки такие, то регулировки не нужна.
6. Если показания больше, то производится установка схождения. Данная операция производится изменением длины рулевых тяг. На тяге нужно послабить контргайку и в зависимости от того, удлинять ее нужно или укорачивать, тягу нужно либо немного выкрутить, либо вкрутить. После чего снова затянуть контргайку.
7. Закончив с регулировкой, нужно еще раз провести замеры.

Регулировка кастора обычно не проводится. Важно учитывать, что перед началом проверок и регулировок развала/схождения своими руками, следует проверить состояние резиновых элементов подвески на износ, а также проверить состояние наконечников рулевых тяг. При сильном их износе показания при замерах будут отличаться и правильно отрегулировать углы будет невозможно.

После регулировки правильность установки развал-схождения колес можно проверить на дороге. Автомобиль не должно уводить в сторону, биение в руль должно отсутствовать.

К чему может привести некачественная регулировка развал-схождения?

Приводим несколько дефектов, которые могут появиться после неправильной регулировки развал-схождения колёс и способы их устранения.

Быстрый износ резины при неправильной настройке развала-схождения колес

1. Положение рулевого колеса при прямолинейном движении автомобиля отклонено от среднего положения.

Причин появления такого дефекта может быть несколько:

• повышенный люфт руля, который не был учтён при регулировке схождения;
• задний мост несколько повёрнут относительно продольной оси автомобиля. Этот дефект может быть пропущен, если работы проводились на оптическом стенде, а также в том случае, когда на компьютерном стенде отключён режим измерения угла установки мостов;
• разница давлений в шинах правых и левых колёс, которая не была устранена перед регулировкой;
• наличие иных скрытых дефектов в подвесной системе, которые были пропущены при осмотре и проверке ходовой части автомобиля перед регулировкой;
• известны случаи, когда среднее положение руля изменяется, если колёса на передней подвеске поменять между собой.

В случаях, когда присутствует самопроизвольное уклонение от прямолинейного движения (увод в сторону), следует выявить и устранить причину уклонения, а только потом проверять среднее положение руля.

2. Автомобиль самопроизвольно отклоняется в сторону от направления движения.

Причин также может быть несколько:

• разница в качестве изготовления покрышек передних колёс, выражаемая в неоднородности силовых характеристик их металлического каркаса. Такое встречается нередко. Чтобы проверить, нужно поменять передние колёса – увод должен поменять своё направление. Чтобы устранить его, следует менять между собой колёса, подбирая такую пару, при которой самопроизвольный увод прекратится;
• дефекты заднего моста, диагностику которого пропустили. Следует выполнить осмотр и проверку положения заднего моста;
• наличие скрытых дефектов в подвесных системах, не выявленных во время их диагностики, проведённых не в полном объёме или некачественно;
• некачественно выполненная регулировка или не откалиброванный проверочный стенд.

3. Односторонний увод машины появился только после выполненной регулировки, до этого уклонения не было, но был характерный неравномерный износ резины.

Причиной может быть разница в качестве покрышек, о которой упоминается выше, приводящей к самопроизвольному уклонению машины от прямолинейного движения. Однако до этого увод компенсировался неправильным схождением, устранение которого привело к появлению уклонения. В этом случае следует поменять резину.

Развал-схождение на ВАЗ 2112 своими руками — автомобильный портал

Неправильная регулировка развала-схождения может являться причиной, например, быстрого износа покрышек, или того, что при движении по прямой машину будет уводить влево или вправо.

Что такое развал-схождение

Для начала давайте разберемся с теорией: развал-схождение – что это? Какими бывают углы установки колёс, и как от них зависит поведение машины на дороге? Развал – это угол между вертикалью и плоскостью колеса. Он обеспечивает надежный контакт покрышки с дорогой (смотрите на рисунке выше).

Схождение – это угол между направлением движения и плоскостью вращения колеса. От него зависит устойчивость автомобиля в поворотах и износ шин.

• У заднеприводных автомобилей колеса должны быть слегка повернуты друг к другу – это называется положительное схождение. В движении они разъезжаются и становятся параллельно.
• У переднеприводных – наоборот, схождение должно быть отрицательным (смотрите на схеме ниже).

Кастер – это угол продольного наклона шкворня. Данный параметр очень редко нуждается в корректировке, лишь на заново собранной передней подвеске из новых деталей, поэтому его регулировку мы рассматривать не будем.

Ремонт подвески или рулевого управления (замена тех же амортизаторов или рулевого шарнира) ведет к значительному изменению установочных углов колёс. Ежедневная эксплуатация автомобиля также со временем вносит свои коррективы в эти параметры, поэтому периодически возникает необходимость в регулировке развала-схождения.

Регулировать развал-схождение лучше всего два раза в год, при сезонной смене покрышек. За это время не раз угодишь в яму или наедешь на бордюр, от чего ходовая расшатывается и углы изменяются. Своевременная регулировка развала-схождения обойдется намного дешевле, чем комплект новой резины.

Правда советские автолюбители справлялись безо всяких стендов и компьютеров – при помощи гаечных ключей, штангенциркуля, нити и отвеса они регулировали углы развала и схождения своими руками.

Когда и зачем это вам нужно

Производители рекомендуют владельцам иномарок проводить процедуру каждые 30 000 км пробега, а обладателям отечественных авто — каждые 15 000 км. Срок может уменьшаться, если машина эксплуатируется в сложных условиях и часто ездит по плохим дорогам. В ряде случаев может потребоваться внеплановая процедура:

• если диск смялся при въезде в яму на высокой скорости;
• если проводился ремонт ходовой;
• если на машину поставили укороченные пружины или клиренс менялся по другим причинам, были установлены автобаферы;
• если при езде ясно чувствуется «увод» авто в сторону;
• если покрышки начали изнашиваться гораздо быстрее;
• если руль плохо возвращается после преодоления поворота.

Что вы получите по результатам развал-схождения?

1. Улучшится курсовая устойчивость машины. При езде по прямой транспорт будет двигаться только вперёд, без смещения в сторону.
2. Автомобиль станет более манёвренным, пропадут сильные заносы, упростится управление.
3. Снизится расход топлива, возрастёт срок эксплуатации покрышек.

В зависимости от назначения может быть выбран тот или иной вид развала колёс. Есть несколько признаков и симптомов, по которым можно понять, что клёса пора регулировать.

• При езде руль находится в центральном положении, а автомобиль отклоняется в сторону.
• Руль повернут в одну из сторон, но машина всё равно едет по прямой.
• Если вы только что купили автомобиль, обязательно обратитесь в автосервис за развал-схождением. Мастера на внутренней СТО магазина должны проводить процедуру перед продажей, но на практике так бывает не всегда. В идеале лучше спросить об этом перед покупкой.
• При смене резины загляните на станцию технического обслуживания чтобы проверить развал-схождение. Возможно, делать его не придётся, но вероятность имеется.
• Кроме того, обратите внимание на расход топлива и скорость износа покрышек. Если эти параметры увеличились, возможно, проблема именно в состоянии колёс.

Неравномерный износ покрышек — один из признаков необходимости развал-схожденияНужно ли выполнять развал-схождение задних колёс в переднеприводном автомобиле? Да, но надо иметь в виду небольшой нюанс. Если заднее колесо вывернуто наружу, задняя ось будет уводиться на обочину, что приведёт к появлению сильных заносов на поворотах. Если же колесо развёрнуто к центру поворота, машина будет с трудом поворачивать. Однако незначительное сведение этих частей авто одно к другому идёт только на пользу водителю, поскольку можно будет проще двигаться по прямой, а подвеска сможет лучше «подруливать» в определённую сторону даже при сильных порывах бокового ветра, что является несмоненной помощью водителю-новчику.

Итак, если нижние стороны задних колёс слегка повёрнуты друг к другу — это нормально. А вот их расхождение нуждается в устранении.

Инструкция по регулировке развала-схождения своими руками

Перед тем, как приступать к регулировке углов развала и схождения, в обязательном порядке необходимо проверить ходовую автомобиля. Если нужен ремонт, то развал-схождение делать бессмысленно. Рулевое управление и подвеска должны быть в полном порядке.

Обратите внимание на три момента, от которых очень сильно зависят углы установки колёс на автомобиле:

Обязательно перед регулировкой развала-схождения проверяйте давление в покрышках и убедитесь в том, что случано не забыли в багажнике пару мешков картошки или цемента :)В качестве примера, мы опишем, как сделать развал-схождение своими руками на автомобиле ВАЗ 2109.

Чтобы избежать лишних регулировок развала и схождения после ремонта ходовой, перед разборкой подвески следует метить все разъединяемые соединения относительно друг друга. Лучше всего это делать зубилом, керном или краской. Необходимо также считать число оборотов при выворачивании наконечников из рулевых тяг.

Регулировка угла развала колес

Регулировка углов развала выполняется в следующем порядке (напоминаем, что в нашем случае действия описаны для автомобиля ВАЗ 2109):

1. Перед началом регулировки развала машина должна стоять на ровной площадке.
2. Ставим на ободе колеса мелом по диаметру две вертикальные метки – одну сверху, другую снизу.
3. Шнур с отвесом прикладываем к крылу, и вдоль меток линейкой или штангенциркулем измеряем расстояние от обода до шнура у верхней метки, а затем у нижней. Разница должна составлять ±3 мм.
4. Обод может быть не идеальным, поэтому желательно прокатить машину, повернув колесо на 90°, и сделав еще 2 вертикальные метки. Снова производим замер.
5. Проделайте тоже самое на втором колесе и запишите результат.
6. После этого разверните машину на 180° и снова произведите замеры, запишите их и сравните.
7. Затем снимите колесо и двумя ключами на 19 отпустите два болта крепления кронштейна стойки амортизатора к поворотному кулаку.
8. Сдвиньте поворотный кулак ключом на 19 за счет эксцентриситета головки болта внутрь или наружу на необходимое расстояние, таким образом добиваясь необходимого угла развала.
9. Подтяните болты, поставьте колесо на место, опустите автомобиль и качните несколько раз, нажав на крыло. Проведите замеры.
10. Отойдите от машины на некоторое расстояние и посмотрите на положение передних колес, сравнивая их с плоскостью задних.

На заднеприводных автомобилях угол развала должен быть в пределах +1/+3мм, а на переднеприводных машинах нормальным считается развал в диапазоне от -1 до +1мм.

Регулировка угла схождения колес

Для регулировки угла схождения замеры удобнее всего производить специальной телескопической линейкой со шкалой. Линейка для регулировки схожденияРаботать удобнее на яме. Руль должен находиться в положении прямолинейного движения.

• Перед регулировкой схождения, с внутренней стороны колёс мелом нанесите по одной метке на левой и правой покрышке как можно ближе дискам.
• Создав в линейке предварительный натяг, установите ее, уперев концами в намеченные точки так, чтобы ее корпус не касался деталей кузова и подвески.
• Слегка встряхните линейку, на подвижной шкале совместите «ноль» с неподвижным указателем. Зафиксируйте шкалу.
• Осторожно прокатите автомобиль вперед, чтобы линейка вместе с колесами переместилась назад, но не коснулась деталей подвески и кузова.
• Проверьте показания.

Если на ВАЗ 2109 расстояние между колесами сзади меньше чем спереди, то рулевые тяги надо укорачивать, а если больше, то – удлинять.

1. Ключом на 27 ослабьте контргайки на рулевых тягах. Гайки с рисками на гранях имеют левую резьбу.
2. Ключом на 24 вращайте муфту для изменения длины тяги.
3. Не забывайте следить за горизонтальным положением спицы руля.
4. Поставьте подвижную шкалу на линейке для регулировки схождения на «ноль» и прокатите машину назад.
5. При показаниях от -1 до +1мм можно закончить регулировку угла схождения. Для дополнительно контроля прокатите автомобиль вперед.

Посмотрите по очереди со стороны каждого переднего колеса в створ каждого заднего. При горизонтально стоящей спице руля вы легко увидите есть или нет смещения обоих колес влево или вправо. Если смещение заметно явно, то, выкрутив одну тягу и закрутив другую на одинаковое количество оборотов, исправьте смещение.

После регулировки развала-схождения своими руками, стоит задуматься о том, какие выбрать колесные диски: штампованные или литые? Считается, что литые диски значительно снижают нагрузку на подвеску, а штампованные – более практичны.

Видео: что нужно знать о развале-схождении

Ходовая часть авто — это сложный компонент с множеством параметров. Любое вмешательство в неё приведёт к изменению углов установки колёс. В результате поведение машины на дороге меняется в худшую сторону: затрудняется прохождение поворотов, авто может вилять при торможении и разгоне, становится трудно направлять его в определённую сторону, возникают заносы.

Чтобы исправить проблему, прибегают к развал-схождению. Можно ли сделать его своими руками и что для этого нужно?

Calculus II — Схождение / расхождение серии

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-4: Схождение / расхождение серий

В предыдущем разделе мы потратили некоторое время на знакомство с рядами и кратко определили сходимость и расхождение.Прежде чем беспокоиться о сходимости и расхождении рядов, мы хотели убедиться, что мы начали привыкать к обозначениям, используемым в рядах, и с некоторыми из различных манипуляций с рядами, которые нам иногда придется уметь.

Как отмечалось в предыдущем разделе, большая часть того, что мы там делали, в этой главе не будет сделано. Итак, теперь пора начать говорить о конвергенции и расхождении ряда, поскольку это будет тема, которой мы будем заниматься в той или иной степени почти во всех оставшихся разделах этой главы.\ infty \) и снова обратите внимание, что мы начинаем последовательность с \ (n = 1 \) только ради удобства, и на самом деле это может быть что угодно.

Далее мы определяем частичные суммы ряда как,

\ [\ begin {align *} & {s_1} = {a_1} \\ & {s_2} = {a_1} + {a_2} \\ & {s_3} = {a_1} + {a_2} + {a_3} \\ & {s_4} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} \\ & \ hspace {0,25 дюйма} \, \ vdots \\ & {s_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3 } + {a_4} + \ cdots + {a_n} = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n {{a_i}} \ end {align *} \]

, и они образуют новую последовательность \ (\ left \ {{{s_n}} \ right \} _ {n = 1} ^ \ infty \).\ infty {{a_i}} = s \). Аналогичным образом, если последовательность частичных сумм является расходящейся последовательностью (, т.е. , ее предел не существует или равен плюс-минус бесконечности), то ряд также называется расходящимся .

Давайте взглянем на некоторые ряды и посмотрим, сможем ли мы определить, сходятся ли они или расходятся, и посмотрим, сможем ли мы определить значение любого сходящегося ряда, которое мы найдем.

Пример 1 Определите, сходится или расходится следующий ряд.\ infty \]

сходится или расходится. В данном случае это не так уж сложно. Предел членов последовательности составляет,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {{n \ left ({n + 1} \ right)}} {2} = \ infty \]

Следовательно, последовательность частичных сумм расходится на \ (\ infty \), и поэтому ряд также расходится.

Итак, как мы видели в этом примере, нам нужно было знать довольно непонятную формулу, чтобы определить сходимость этого ряда.Вообще говоря, найти формулу для общего члена в последовательности частичных сумм — очень сложный процесс. Фактически, после следующего раздела мы не будем особо заниматься частными суммами рядов из-за чрезвычайных трудностей, с которыми приходится сталкиваться при нахождении общей формулы. Это также означает, что мы не будем много работать со значением ряда, поскольку для получения значения нам также необходимо знать общую формулу для частичных сумм.

Однако мы продолжим с еще несколькими примерами, поскольку именно так мы определяем сходимость и ценность ряда.2} — 1}}} \] Показать решение

На самом деле это одна из немногих серий, в которых мы можем определить формулу для общего члена в последовательности частичных дробей. Однако в этом разделе нас больше интересует общая идея сходимости и расхождения, поэтому мы отложим обсуждение процесса поиска формулы до следующего раздела.

Общая формула для частичных сумм:

\ [{s_n} = \ sum \ limits_ {i = 2} ^ n {\ frac {1} {{{i ^ 2} — 1}}} = \ frac {3} {4} — \ frac {1} {{2n}} — \ frac {1} {{2 \ left ({n + 1} \ right)}} \]

и в данном случае

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {s_n} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {3} {4} — \ frac {1} {{2n}} — \ frac {1} {{2 \ left ({n + 1} \ right)}}} \ right) = \ frac {3} {4} \]

Последовательность частичных сумм сходится, следовательно, сходится и ряд, и его значение равно

. \ infty = \ left \ {{1,0,1,0,1,0,1,0,1, \ ldots } \Правильно\}\]

, и эта последовательность расходится, поскольку \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {s_n} \) не существует.{n — 1}}}}} = \ frac {3} {2} \]

Как мы уже отметили, не стоит увлекаться определением общей формулы для последовательности частичных сумм. Будет только один тип ряда, в котором вам нужно будет определить эту формулу, и процесс в этом случае не так уж и плох. Фактически, вы уже знаете, как выполнять большую часть работы в процессе, как вы увидите в следующем разделе.

Итак, мы определили сходимость четырех рядов. Две серии сошлись, а две разошлись.{n — 1}}}} = 0 & \ hspace {0,75in} & {\ mbox {этот ряд сходится}} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что для двух сходящихся рядов сам член ряда был равен нулю в пределе. Это всегда будет верно для сходящихся рядов и приводит к следующей теореме.

Теорема

Если \ (\ sum {{a_n}} \) сходится, то \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {a_n} = 0 \).

Проба

Сначала предположим, что серия начинается с \ (n = 1 \).\ infty \) также сходится, и что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {s_n} = s \) для некоторого конечного значения \ (s \). Однако, поскольку \ (n — 1 \ to \ infty \) as \ (n \ to \ infty \), у нас также есть \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {s_ {n — 1 }} = s \).

Теперь у нас есть,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {a_n} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} \ left ({{s_n} — {s_ {n — 1 }}} \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {s_n} — \ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {s_ {n — 1}} = s — s = 0 \]

Будьте осторожны, не используйте эту теорему неправильно! Эта теорема дает нам требование сходимости, но не гарантирует сходимость.2}}}} \]

В обоих случаях члены ряда равны нулю в пределе, когда \ (n \) стремится к бесконечности, но сходится только второй ряд. Первая серия расходится. Это будет пара разделов, прежде чем мы сможем это доказать, так что сейчас, пожалуйста, поверьте этому и знайте, что вы сможете доказать сходимость этих двух рядов в нескольких разделах.

Опять же, как отмечалось выше, все, что делает эта теорема, — это требование сходимости ряда. Чтобы ряд сходился, члены ряда должны стремиться к нулю в пределе.Если члены ряда не стремятся к нулю в пределе, то ряд не может сойтись, поскольку это нарушит теорему.

Это приводит нас к первому из многих тестов на сходимость / расхождение ряда, которые мы увидим в этой главе.

Тест на расхождение

Если \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {a_n} \ ne 0 \), то \ (\ sum {{a_n}} \) будет расходиться.

Опять же, НЕ используйте этот тест неправильно. Этот тест говорит только о том, что ряды гарантированно расходятся, если члены ряда не стремятся к нулю в пределе.2}}}} & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {converges}} \ end {align *} \]

Одна из наиболее распространенных ошибок, которые делают учащиеся, когда они впервые попадают в серию, — это предположение, что если \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {n \ to \ infty} {a_n} = 0 \), то \ (\ sum {{a_n}} \) сойдутся. Гарантировать это невозможно, так что будьте осторожны!

Давайте быстро рассмотрим пример того, как можно использовать этот тест.

Пример 5 Определите, сходится или расходится следующий ряд.3}}} = — \ frac {1} {2} \ ne 0 \]

Предел членов ряда не равен нулю, поэтому по тесту расходимости ряд расходится.

Тест дивергенции — это первый тест из множества тестов, которые мы рассмотрим в течение следующих нескольких разделов. Вам нужно будет отслеживать все эти тесты, условия, при которых они могут быть использованы, и их выводы в одном месте, чтобы вы могли быстро вернуться к ним по мере необходимости.

Далее нам следует вкратце вернуться к арифметике рядов и сходимости / расхождения.\ infty {{b_n}} \]

Мы увидим пример этого в следующем разделе после того, как получим еще несколько примеров. На этом этапе просто помните, что сумма сходящихся рядов сходится, и умножение сходящихся рядов на число не изменит их сходимости.

Нам нужно быть немного осторожными с этими фактами, когда речь идет о расходящихся рядах. В первом случае, если \ (\ sum {{a_n}} \) расходится, то \ (\ sum {c {a_n}} \) также будет расходящимся (при условии, что \ (c \), конечно, не равно нулю), поскольку умножение ряда, имеющего бесконечное значение или не имеющего значения, на конечное значение ( т.\ infty {\ left ({{a_n} \ pm {b_n}} \ right)} \) быть сходящийся ряд.

Теперь, поскольку основная тема этого раздела — сходимость ряда, мы должны упомянуть более сильный тип сходимости. Говорят, что ряд \ (\ sum {{a_n}} \) сходится к абсолютно , если \ (\ sum {\ left | {{a_n}} \ right |} \) также сходится. Абсолютная сходимость на сильнее , чем сходимость в том смысле, что абсолютно сходящийся ряд также будет сходящимся, но сходящийся ряд может быть или не быть абсолютно сходящимся.

Фактически, если \ (\ sum {{a_n}} \) сходится и \ (\ sum {\ left | {{a_n}} \ right |} \) расходится, ряд \ (\ sum {{a_n}} \) называется условно сходящейся .

На данный момент у нас действительно нет инструментов, чтобы должным образом исследовать эту тему в деталях, и у нас нет инструментов, чтобы определить, является ли ряд абсолютно сходящимся или нет. Так что мы пока не будем больше ничего говорить по этому поводу. Когда у нас наконец появятся инструменты для более подробного обсуждения этой темы, мы вернемся к ней.А пока не беспокойся об этом. Идея упоминается здесь только потому, что мы уже обсуждали конвергенцию в этом разделе, и она связана с последней темой, которую мы хотим обсудить в этом разделе.

В предыдущем разделе, после того как мы представили идею бесконечного ряда, мы прокомментировали тот факт, что мы не должны думать о бесконечном ряду как о бесконечной сумме, несмотря на то, что обозначения, которые мы используем для бесконечных рядов, по-видимому, подразумевают, что это бесконечная сумма. Пришло время кратко обсудить это.{n + 1}}}} {n}} = 1 — \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} — \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} — \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} — \ frac {1} {8} + \ cdots = \ ln 2 \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

Поскольку этот ряд сходится, мы знаем, что если мы умножим его на константу \ (c \), его значение также будет умножено на \ (c \). Итак, давайте умножим это на \ (\ frac {1} {2} \), чтобы получить

\ [\ begin {equal} \ frac {1} {2} — \ frac {1} {4} + \ frac {1} {6} — \ frac {1} {8} + \ frac {1} {{ 10}} — \ frac {1} {{12}} + \ frac {1} {{14}} — \ frac {1} {{16}} + \ cdots = \ frac {1} {2} \ ln 2 \ label {eq: eq2} \ end {формула} \]

Теперь давайте добавим ноль между каждым членом, как показано ниже.

\ [\ begin {уравнение} 0 + \ frac {1} {2} + 0 — \ frac {1} {4} + 0 + \ frac {1} {6} + 0 — \ frac {1} {8} + 0 + \ frac {1} {{10}} + 0 — \ frac {1} {{12}} + 0 + \ cdots = \ frac {1} {2} \ ln 2 \ label {eq: eq3} \ конец {уравнение} \]

Обратите внимание, что это не изменит значение ряда, потому что частичные суммы для этого ряда будут частичными суммами для \ (\ eqref {eq: eq2} \), за исключением того, что каждый член будет повторяться. Однако повторение членов в ряду не повлияет на его предел, поэтому и \ (\ eqref {eq: eq2} \), и \ (\ eqref {eq: eq3} \) будут одинаковыми.

Мы знаем, что если две серии сходятся, мы можем сложить их, добавляя член за членом, и таким образом добавляя \ (\ eqref {eq: eq1} \) и \ (\ eqref {eq: eq3} \), чтобы получить,

\ [\ begin {уравнение} 1 + \ frac {1} {3} — \ frac {1} {2} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {7} — \ frac {1} {4} + \ cdots = \ frac {3} {2} \ ln 2 \ label {eq: eq4} \ end {уравнение} \]

Теперь обратите внимание, что члены \ (\ eqref {eq: eq4} \) — это просто члены \ (\ eqref {eq: eq1} \), расположенные так, что каждый отрицательный член следует после двух положительных членов.Однако значения определенно различаются, несмотря на то, что условия одинаковы.

Также обратите внимание, что это не одна из тех «уловок», которые вы иногда видите, когда вы получаете противоречивый результат из-за трудно обнаруживаемой математической / логической ошибки. Это вполне реальный результат, и мы не допустили никаких логических ошибок / ошибок.

Вот хороший набор фактов, которые управляют представлением о том, когда перестановка приведет к другому значению ряда.

Факты

Учитывая серию \ (\ sum {{a_n}} \),

1. Если \ (\ displaystyle \ sum {{a_n}} \) абсолютно сходится и его значение равно \ (s \), то любая перестановка \ (\ displaystyle \ sum {{a_n}} \) также будет иметь значение из \ (s \).
2. Если \ (\ displaystyle \ sum {{a_n}} \) условно сходится и \ (r \) — любое действительное число, то происходит перестановка \ (\ displaystyle \ sum {{a_n}} \), значение которой будет быть \ (г \).

Опять же, у нас еще нет инструментов, чтобы определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, и поэтому не беспокойтесь об этом на данном этапе. Это сделано для того, чтобы убедиться, что вы понимаете, что мы должны быть очень осторожны, думая о бесконечном ряду как о бесконечной сумме.{n + 1}}}} {n}} \]

должен быть условно сходящимся, поскольку две перестановки дали два отдельных значения этого ряда. В конце концов, будет очень просто показать, что этот ряд условно сходится.

Как заставить расходящиеся бесконечные серии сходиться

На этой неделе я обедал с моим коллегой, когда разговор зашел о том, чему мы учили в этом семестре. Он упомянул ту часть исчисления, которая имеет дело с бесконечными рядами (проклятие многих студентов), и как на самом деле он просто мысленно сравнивает все с гармоническим рядом: 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + … Эта серия расходится с ; то есть сумма бесконечна (сравните это со сходящимся рядом (1/2) + (1/4) + (1/8) +… = 1).Затем я случайно упомянул, что если вы возьмете гармонический ряд и выбросите члены, знаменатели которых содержат 9, то полученный ряд сходится.

«Я в это не верю. Как это может быть правдой?»

Это была моя первая реакция на этот факт, потому что мы настолько привыкли к идее, что гармонические ряды расходятся, что не можем поверить, что отбрасывание нескольких членов, даже бесконечно большого количества, будет иметь значение. И в 9 нет ничего особенного; вы можете выбросить термины, содержащие любую конкретную цифру.Фактически, вы можете выбрать любую конечную строку цифр, отбросить содержащие их термины, и результат сходится. Теперь давайте поговорим о том, что все это значит и как мы можем это доказать.

Первое, что нужно выяснить — это правильное определение. В конце концов, я не могу сложить бесконечно много чисел (не хватает времени), но моя интуиция насчет ряда (1/2) + (1/4) + (1/8) +… = 1 подсказывает мне, что я должен быть смог понять эту идею. Кстати, я надеюсь, понятно, почему сумма этого ряда равна 1 — представьте, что вы пытаетесь пройти через комнату; сначала вы должны пройти половину пути, затем половину этого расстояния (1/4), затем половину этого расстояния (1/8), и в конечном итоге вы доберетесь туда, куда идете, поэтому все эти дроби в сумме дают 1.Зенон, конечно, не согласился бы, поскольку именно этот пример формирует его парадоксальное утверждение о невозможности движения.

Что делать? Что ж, я могу сложить конечное число чисел, поискать закономерность, а затем посмотреть, что произойдет, если я позволю этому конечному количеству членов стать произвольно большим. В общем, для бесконечного ряда ∑ a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… мы формируем последовательность частичных сумм s _n = a ₁ + a ₂ +… + a _n , а затем определите сумму бесконечного ряда как предел этой последовательности частичных сумм, если она существует. Если предел не существует, мы говорим, что серия расходится с . Итак, ряд степеней 2 имеет частичные суммы, которые выглядят как

И поскольку бит 1/2 ⁿ становится очень маленьким, поскольку n уходит в бесконечность, мы говорим, что сумма ряда равна 1. Но как насчет гармонического ряда? Нет очевидной формулы для его частичных сумм, но мы можем утверждать, что они уходят в бесконечность двумя способами.Один из способов — посмотреть на частичную сумму 2 ⁿ :

Мы можем сделать это сколь угодно большим, взяв n как большое, так что ряды расходятся. Вот еще один способ увидеть это. Каждый член гармонического ряда можно представить как площадь прямоугольника с основанием 1 и высотой 1/ n . Рассмотрим график функции y = 1 / x и вычислим площадь под кривой от x = 1 до n + 1:

Поскольку все эти прямоугольники лежат над кривой, а сумма их площадей составляет n -ю частичную сумму гармонического ряда, получаем неравенство

Поскольку функция натурального логарифма неограниченно возрастает, частичные суммы и гармонический ряд также расходятся.Кроме того, эта формулировка очень полезна для оценки частичных сумм. С помощью аналогичного анализа мы можем получить верхнюю границу частичных сумм, нарисовав прямоугольники под кривой y = 1 / x , чтобы аппроксимировать площадь, и затем мы обнаружим, что

Это наблюдение приводит к старой шутке о том, что известно, что гармонический ряд расходится, но этого никогда не наблюдалось. Предположим, мы начали с Большого взрыва 13,8 миллиарда лет назад и добавили один член гармонического ряда в секунду.Частичная сумма сегодня будет между 40,6 и 41,6; это одно медленное путешествие в бесконечность.

Но как насчет утверждения, которое я сделал выше, что если вы выберете свою любимую цифру, скажем 9, и удалите все члены, знаменатели которых содержат 9, то результирующий ряд сходится? Сначала это может показаться маловероятным, но вот эвристика. Когда у нас есть большое количество цифр, случайное число содержит 9 как одну из цифр с очень высокой вероятностью. Другими словами, случайные числа с большим количеством цифр, ни одна из которых не является 9, встречаются редко.Попробуем посчитать это внимательно. Первый член, который мы удаляем из гармонического ряда, равен 1/9. Затем мы удаляем 1/19, 1/29, …, 1/89, но затем удаляем следующие десять членов 1/90, 1/91, …, 1/99. Мы делаем это для следующих нескольких сотен терминов, пока не дойдем до 1/900, где мы удалим 100 последовательных терминов. В общем, если мы назовем серию со всеми удаленными членами 9 D , то получим D = D ₁ + D ₂ + … , где D _i — это сумма члены, знаменатели которых состоят из и цифр, ни одна из которых не равна 9.Число цифр i , не содержащих 9, равно 8 · 9 ^i-1 , поскольку первая цифра не может быть 0 или 9, а остальные цифры не могут быть 9. Каждый член в D _i имеет вид 1/ r , где r — это i -значное число. Таким образом, каждые r ≥10 ^i-1 и в результате D _i ≤ 8 · (9/10) ^i-1 . Отсюда следует неравенство

, а поскольку D — это ограниченный сверху ряд положительных членов, он должен сходиться.

Обратите внимание, что в 9 не было ничего особенного, и если вы хотите выбрать 0, требуется лишь небольшая модификация. Более того, должно быть довольно ясно, что можно выбрать любую конечную строку, например 3456789, удалить все члены, в которых она появляется, и в результате все равно будет сходящийся ряд, хотя и с гораздо большей суммой.

Подобные серии

называются сериями Кемпнера, и здесь есть статья о них почти 100-летней давности. Нахождение их точной суммы, как правило, является неразрешимой проблемой, и мы должны довольствоваться числовыми оценками.Мы знаем, что сумма меньше 80 (для любой цифры, кроме 0), но без девяток фактическая сумма составляет примерно 22,.

Серия

— это очень весело, и они снова появятся, когда я возобновлю сборник статей о π. Впереди еще много сюрпризов, так что следите за обновлениями.

Расходящиеся и Конвергентные | математика — это развлечение

A) Последовательность — это список терминов. Есть два основных типа последовательности: одна сходящаяся, а другая расходящаяся. Сходящаяся последовательность — это когда через некоторые термины вы достигли конечного и постоянного члена, когда n приближается к бесконечности.Дивергентная последовательность — это последовательность, в которой члены никогда не становятся постоянными, они продолжают увеличиваться или уменьшаться, и они приближаются к бесконечности или -бесконечности, когда n приближается к бесконечности. Последовательность может быть представлена ​​как функция, и если мы поместим значения x, мы получим другие члены f (x). предположим, что n равно x, а члены в последовательности равны f (x). мы увеличиваем значения x и доводим их до бесконечности, если значения f (x) станут постоянными до конечного значения, когда x приближается к бесконечности, тогда последовательность терминов называется сходящейся.Но если значения f (x) продолжают увеличиваться или уменьшаться и стремятся к бесконечности или -бесконечности, то последовательность называется расходящейся.

B) Теперь серия отличается от последовательности. Смысл сходимости и расхождения рядов может сильно отличаться от последовательностей. Если частичные суммы слагаемых становятся постоянными, то ряд называется сходящимся, но если частичные суммы стремятся к бесконечности или -бесконечности, то говорят, что ряд расходится. Когда n приближается к бесконечности, то если частичная сумма слагаемых равна предел до нуля или некоторого конечного числа, тогда говорят, что ряд сходится, например, мы могли бы взять пример геометрического ряда, который есть (r ^ (n)), который постоянно умножается до первого члена.Теперь, если A = 5, R меньше 1 и, скажем, 0,5, тогда, скажем, (5,2,5,1,25…), оно будет продолжать уменьшаться до нуля (как когда n приближается к бесконечности, член станет), но член, достигающий нуля не дал бы нам ответа, но на самом деле это сумма членов, которая становится постоянной до 10. поэтому ряд сходится к 10, поэтому Sn (частичные суммы ограничиваются до 10). Но если R равно 2, частичные суммы будут продолжать расти до бесконечности, а это означает, что ряд расходится.

Эта запись была опубликована в рубрике Без категории 29 сентября 2016 г. автором moiz ali.

Расхождение и конвергенция В чем разница?

Дивергенция против конвергенции: обзор

В мире экономики и финансов существует множество тенденций и инструментов. Некоторые из них описывают противоположные силы, такие как расхождение и конвергенция. Дивергенция обычно означает, что две вещи расходятся, в то время как конвергенция подразумевает, что две силы движутся вместе. В мире экономики, финансов и торговли термины «дивергенция» и «конвергенция» используются для описания взаимосвязи двух тенденций, цен или индикаторов.Но, как следует из общих определений, эти два термина относятся к тому, как развиваются эти отношения. Дивергенция указывает на то, что две тенденции удаляются друг от друга, а конвергенция указывает на то, как они сближаются.

Ключевые выводы

• Дивергенция возникает, когда цена актива и индикатора удаляются друг от друга.
• Конвергенция происходит, когда цена актива и индикатора движутся навстречу друг другу.
• Дивергенция может быть как положительной, так и отрицательной.
• Конвергенция происходит потому, что эффективный рынок не позволяет чему-либо торговать по двум ценам одновременно.
• Технические трейдеры больше заинтересованы в расхождении как сигнале к торговле, в то время как отсутствие конвергенции — это возможность для арбитража.

Дивергенция

Когда стоимость актива, индикатора или индекса изменяется, соответствующий актив, индикатор или индекс перемещается в другом направлении. Это то, что называется расхождением. Дивергенция предупреждает, что текущий ценовой тренд может ослабевать, а в некоторых случаях может привести к изменению направления цены.

Дивергенция может быть как положительной, так и отрицательной. Например, положительная дивергенция возникает, когда акция приближается к минимуму, но ее индикаторы начинают расти. Это будет признаком разворота тренда, потенциально открывающего возможность входа для трейдера. С другой стороны, отрицательная дивергенция возникает, когда цены растут, а индикатор сигнализирует о новом минимуме.

Когда происходит расхождение, это не означает, что цена развернется или что разворот произойдет в ближайшее время. Фактически, дивергенция может длиться долгое время, поэтому действия в одиночку могут привести к значительным потерям, если цена не отреагирует так, как ожидалось.Обычно трейдеры не полагаются исключительно на дивергенцию в своей торговой деятельности. Это потому, что он сам по себе не подает своевременных торговых сигналов.

Технический анализ фокусируется на моделях движения цен, торговых сигналах и различных других аналитических сигналах для информирования сделок, в отличие от фундаментального анализа, который пытается определить внутреннюю стоимость актива.

Схождение

Термин «конвергенция» противоположен расхождению. Он используется для описания явления сближения фьючерсной цены и денежной цены базового товара с течением времени.В большинстве случаев трейдеры называют конвергенцию способом описания поведения цены фьючерсного контракта.

Теоретически конвергенция происходит потому, что эффективный рынок не позволяет чему-либо торговать по двум ценам одновременно. Фактическая рыночная стоимость фьючерсного контракта ниже, чем цена рассматриваемого контракта, потому что трейдеры должны учитывать временную стоимость ценной бумаги. По мере приближения даты истечения контракта премия за временную стоимость уменьшается, и две цены сходятся.

Если бы цены не сходились, трейдеры воспользовались бы разницей в ценах, чтобы получить быструю прибыль. Это будет продолжаться до тех пор, пока цены не сойдутся. Когда цены не сходятся, есть возможность для арбитража. Арбитраж — это когда актив покупается и продается одновременно на разных рынках, чтобы воспользоваться временной разницей в цене. В этой ситуации используется неэффективность рынка.

Ключевые отличия

Технические трейдеры гораздо больше озабочены дивергенцией, чем конвергенцией, в основном потому, что предполагается, что конвергенция происходит на нормальном рынке.Многие технические индикаторы обычно используют дивергенцию в качестве инструментов, в первую очередь осцилляторы. Они отображают полосы (как высокие, так и низкие), которые находятся между двумя крайними значениями. Затем они создают индикаторы тренда, которые текут в этих границах.

Дивергенция — это явление, которое обычно интерпретируется как слабый или потенциально неустойчивый тренд. Трейдеры, которые используют технический анализ как часть своих торговых стратегий, используют дивергенцию, чтобы определить базовый импульс актива.

Конвергенция происходит, когда цена актива, индикатора или индекса движется в том же направлении, что и связанный актив, индикатор или индекс в техническом анализе.Например, конвергенция наблюдается, когда промышленный индекс Доу-Джонса (DJIA) показывает рост одновременно с увеличением его линии накопления / распределения.

конвергентных синонимов, конвергентных антонимов | Тезаурус Мерриам-Вебстера

Тезаурус

Синонимы и антонимы слова

converge собраться в одно тело или место

• голодных учеников собрались в кафетерии почти сразу после того, как прозвенел звонок класса

• собрать,
• кластер,
• собирать,
• концентратор,
• концентрат,
• конгломерат,
• собрание,
• созвать,
• кузнец
• (или вперед),
• собирать,
• встреча,
• рандеву

слов, относящихся к , сходятся

• филиал,
• союзник,
• ассоциированный,
• группа (вместе),
• собрание,
• клуб,
• сотрудничать,
• конфедерат,
• конджойн,
• консолидировать,
• консорт,
• сотрудничать,
• пара,
• федеративная,
• группа,
• присоединиться,
• слияние,
• объединить

Фразы синонимы сходятся

Ближайшие антонимы для сходятся

См. Определение словаря

8.1: Последовательности — математика LibreTexts

В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что это означает, что последовательность сходится или расходится. Мы показываем, как найти пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, которые обсуждались ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости, инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей.

Терминология последовательностей

Для работы с этой новой темой нам нужны новые термины и определения.∞_n = 1, \]

или просто \ (\ displaystyle {a_n} \) для обозначения этой последовательности. Аналогичное обозначение используется для наборов, но последовательность — это упорядоченный список, а набор — неупорядоченный. Поскольку конкретное число \ (\ displaystyle a_n \) существует для каждого положительного целого числа \ (\ displaystyle n \), мы также можем определить последовательность как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел.

Рассмотрим бесконечный упорядоченный список

\ [\ displaystyle 2,4,8,16,32,…. \]

Это последовательность, в которой первый, второй и третий члены задаются как \ (\ displaystyle a_1 = 2, a_2 = 4, \) и \ (\ displaystyle a_3 = 8.n}. \]

В качестве альтернативы мы можем описать эту последовательность по-другому. Поскольку каждый член в два раза больше предыдущего, эту последовательность можно определить рекурсивно, выразив \ (\ displaystyle nth \) термин \ (\ displaystyle a_n \) через предыдущий термин \ (\ displaystyle a_ {n − 1} \ ). В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \), где \ (\ displaystyle a_1 = 2 \) и для всех \ (\ displaystyle n≥2 \), каждый термин an определяется повторение отношение

\ [\ Displaystyle a_n = 2a_ {n-1}.\]

Определение: бесконечная последовательность

Бесконечная последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это упорядоченный список чисел в форме

.

\ (\ Displaystyle a_1, a_2,…, a_n,…. \)

Нижний индекс \ (\ displaystyle n \) называется индексной переменной последовательности. Каждое число \ (\ displaystyle a_n \) является членом последовательности. Иногда последовательности определяются явными формулами, в этом случае \ (\ displaystyle a_n = f (n) \) для некоторой функции \ (\ displaystyle f (n) \), определенной над положительными целыми числами.В других случаях последовательности определяются с использованием отношения повторения . В рекуррентном отношении один член (или несколько) последовательности задается явно, а последующие термины определяются в терминах более ранних терминов в последовательности.

Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с \ (\ displaystyle n = 1 \), но может начинаться с других целых чисел. Например, последовательность, заданная явной формулой \ (\ displaystyle a_n = f (n) \), может начинаться с \ (\ displaystyle n = 0 \), и в этом случае последовательность будет

\ [\ displaystyle a_0, a_1, a_2,….\]

Аналогичным образом, для последовательности, определенной рекуррентным соотношением, термин \ (\ displaystyle a_0 \) может быть задан явно, а термины \ (\ displaystyle a_n \) для \ (\ displaystyle n≥1 \) могут быть определены в члены \ (\ Displaystyle a_ {n − 1} \). Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет ровно одно значение для каждого положительного целого числа \ (\ displaystyle n \), ее можно описать как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел. В результате имеет смысл обсудить график последовательности.п \)}.

Часто встречаются два типа последовательностей, которым даны специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница между каждой парой следующих друг за другом членов одинакова. Например, рассмотрим последовательность

\ [\ Displaystyle 3,7,11,15,19, \ ldots \]

Вы можете видеть, что разница между каждой последовательной парой терминов равна \ (\ displaystyle 4 \). Если предположить, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения

\ [\ displaystyle \ begin {cases} a_1 = 3 \\ a_n = a_ {n − 1} + 4 & для n≥2 \ end {cases}.\]

Обратите внимание, что

\ [\ Displaystyle a_2 = 3 + 4 \]

\ [\ Displaystyle a_3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2⋅4 \]

\ [\ Displaystyle a_4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3⋅4. \]

Таким образом, последовательность также можно описать с помощью явной формулы

\ [\ Displaystyle a_n = 3 + 4 (n − 1) = 4n − 1. \]

В общем случае арифметическая последовательность — это любая последовательность вида \ (\ displaystyle a_n = cn + b. \)

В геометрической последовательности , соотношение каждой пары следующих друг за другом членов одинаково.Например, рассмотрим последовательность

\ [\ displaystyle 2, — \ dfrac {2} {3}, \ dfrac {2} {9}, — \ dfrac {2} {27}, \ dfrac {2} {81},…. {n − 1}.п \).

Пример \ (\ displaystyle \ PageIndex {1} \): поиск явных формул

Для каждой из следующих последовательностей найдите явную формулу для члена \ (\ displaystyle nth \) последовательности.

1. \ (\ displaystyle — \ dfrac {1} {2}, \ dfrac {2} {3}, — \ dfrac {3} {4}, \ dfrac {4} {5}, — \ dfrac {5} {6},… \)
2. \ (\ displaystyle \ dfrac {3} {4}, \ dfrac {9} {7}, \ dfrac {27} {10}, \ dfrac {81} {13}, \ dfrac {243} {16}, … \).

Решение :

а.п} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Найдите явную формулу для последовательности, определенной рекурсивно, такой что \ (\ displaystyle a_1 = −4 \) и \ (\ displaystyle a_n = a_ {n − 1} +6 \).

Подсказка

Это арифметическая последовательность.

Ответ

\ (\ Displaystyle a_n = 6n − 10 \)

Предел последовательности

Фундаментальный вопрос, который возникает в отношении бесконечных последовательностей, — это поведение членов при увеличении \ (\ displaystyle n \).Поскольку последовательность — это функция, определенная на положительных целых числах, имеет смысл обсудить предел терминов как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Например, рассмотрим следующие четыре последовательности и их различное поведение как \ (\ displaystyle n → ∞ \) (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)):

а. \ (\ displaystyle {1 + 3n} = {4,7,10,13,…}. \) Термы \ (\ displaystyle 1 + 3n \) становятся произвольно большими, как \ (\ displaystyle n → ∞ \). В этом случае мы говорим, что \ (\ displaystyle 1 + 3n → ∞ \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)

г.n} {n} → 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): (a) члены в последовательности становятся произвольно большими, как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (b) Термины в последовательном подходе \ (\ displaystyle 1 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (c) Термины в последовательности чередуются между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (d) Члены последовательности чередуются между положительными и отрицательными значениями, но приближаются к \ (\ displaystyle 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \).

Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности как \ (\ displaystyle n → ∞ \).В двух последовательностях члены приближаются к конечному числу, как \ (\ displaystyle n → ∞. \). В двух других последовательностях члены этого не делают. Если члены последовательности приближаются к конечному числу \ (\ displaystyle L \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \), мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число L является пределом последовательности. Мы можем дать здесь неформальное определение.

Определение: сходящиеся и расходящиеся последовательности

Учитывая последовательность \ (\ displaystyle {a_n}, \), если члены an становятся произвольно близкими к конечному числу \ (\ displaystyle L \), когда n становится достаточно большим, мы говорим, что \ (\ displaystyle {a_n} \) равно сходящаяся последовательность и \ (\ displaystyle L \) — это предел последовательности .n} \) — сходящаяся последовательность, и ее предел равен \ (\ displaystyle 1 \). Напротив, на рисунке мы видим, что члены в последовательности \ (\ displaystyle 1 + 3n \) не приближаются к конечному числу, поскольку \ (\ displaystyle n \) становится больше. Мы говорим, что \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) — расходящаяся последовательность.

В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «произвольно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты.Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и графически показываем эти идеи на рисунке.

Определение: конвергенция

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к действительному числу \ (\ displaystyle L \), если для всех \ (\ displaystyle ε> 0 \) существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ Displaystyle | a_n-L | <ε \), если \ (\ Displaystyle n≥N \). Число \ (\ displaystyle L \) является пределом последовательности, и мы пишем

\ [\ lim_ {n → ∞} a_n = Lora_n → L.\]

В этом случае мы говорим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.

Мы отмечаем, что сходимость или расхождение последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) зависит только от того, что происходит с членами \ (\ displaystyle a_n \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Следовательно, если конечное число терминов \ (\ displaystyle b_1, b_2,…, b_N \) помещается перед \ (\ displaystyle a_1 \) для создания новой последовательности

\ [\ displaystyle b_1, b_2,…, b_N, a_1, a_2,…, \]

эта новая последовательность будет сходиться, если \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится, и расходиться, если \ (\ displaystyle {a_n} \) расходится.Кроме того, если последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), эта новая последовательность также сходится к \ (\ displaystyle L \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): по мере увеличения \ (\ displaystyle n \) члены \ (\ displaystyle a_n \) становятся ближе к \ (\ displaystyle L \). Для значений \ (\ displaystyle n≥N \) расстояние между каждой точкой \ (\ displaystyle (n, a_n) \) и линией \ (\ displaystyle y = L \) меньше \ (\ displaystyle ε \ ).

Как определено выше, если последовательность не сходится, она называется расходящейся последовательностью.n} \) расходится, потому что термины чередуются между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \), но не приближаются к одному значению как \ (\ displaystyle n → ∞ \). С другой стороны, последовательность \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) расходится, потому что члены \ (\ displaystyle 1 + 3n → ∞ \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Мы говорим, что последовательность \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) расходится до бесконечности, и пишем \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} (1 + 3n) = ∞ \). Важно понимать, что это обозначение не означает, что существует предел последовательности \ (\ displaystyle {1 + 3n} \).На самом деле последовательность расходится. Запись о том, что предел равен бесконечности, предназначена только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится. Последовательность также может расходиться до отрицательной бесконечности. Например, последовательность \ (\ displaystyle {−5n + 2} \) расходится к отрицательной бесконечности, потому что \ (\ displaystyle −5n + 2 → −∞ \) как \ (\ displaystyle n → −∞ \). Мы записываем это как \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} (- 5n + 2) = → −∞. \)

Поскольку последовательность — это функция, домен которой является набором положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность.Например, рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) и связанную функцию \ (\ displaystyle f \), определенную для всех положительных действительных чисел, так что \ (\ displaystyle f (n) = a_n \) для всех целых чисел \ (\ Displaystyle п≥1 \). Поскольку домен последовательности является подмножеством области \ (\ displaystyle f \), если существует \ (\ displaystyle \ lim_ {x → ∞} f (x) \), то последовательность сходится и имеет тот же предел . Например, рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {1} {n}} \) и связанную функцию \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {x} \).Поскольку функция \ (\ displaystyle f \), определенная для всех действительных чисел \ (\ displaystyle x> 0 \), удовлетворяет \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {x} → 0 \) как \ (\ displaystyle x → ∞ \), последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {1} {n}} \) должна удовлетворять \ (\ displaystyle \ dfrac {1} {n} → 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)

Предел последовательности, определяемой функцией

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) такую, что \ (\ displaystyle a_n = f (n) \) для всех \ (\ displaystyle n≥1 \). Если существует такое вещественное число \ (\ displaystyle L \), что

\ [\ Displaystyle \ lim_ {х → ∞} е (х) = L, \]

, тогда \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится и

\ [lim_ {n → ∞} a_n = L.n} \) сходится к \ (\ displaystyle 0 + 0 = 0 \). Так же, как мы смогли оценить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций \ (\ displaystyle f \) и \ (\ displaystyle g \), посмотрев на пределы \ (\ displaystyle f \) и \ (\ displaystyle g \ ) (см. Введение в пределы), мы можем оценить предел последовательности, члены которой представляют собой алгебраические комбинации \ (\ displaystyle a_n \) и \ (\ displaystyle b_n \), оценивая пределы \ (\ displaystyle {a_n } \) и \ (\ Displaystyle {b_n} \).

Алгебраические предельные законы

Для заданных последовательностей \ (\ displaystyle {a_n} \) и \ (\ displaystyle {b_n} \) и любого действительного числа \ (\ displaystyle c \), если существуют константы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) такая, что \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = A \) и \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = B \), то

1. \ (\ Displaystyle \ lim_ {п → ∞} с = с \)
2. \ (\ Displaystyle \ lim_ {п → ∞} ca_n = с \ lim_ {n → ∞} a_n = CA \)
3. \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} (a_n ± b_n) = \ lim_ {n → ∞} a_n ± \ lim_ {n → ∞} b_n = A ± B \)
4. \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} (a_n⋅b_n) = (\ lim_ {n → ∞} a_n) ⋅ (\ lim_ {n → ∞} b_n) = A⋅B \)
5. \ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} (\ dfrac {a_n} {b_n}) = \ dfrac {\ lim_ {n → ∞} a_n} {\ lim_ {n → ∞} b_n} = \ dfrac {A } {B} \) при условии \ (\ displaystyle B ≠ 0 \) и каждый \ (\ displaystyle b_n ≠ 0.\)

Проба

Докажем часть iii.

Пусть \ (\ Displaystyle ϵ> 0 \). Поскольку \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = A \), существует постоянное положительное целое число \ (\ displaystyle N_1 \) такое, что для всех \ (\ displaystyle n≥N_1 \). Поскольку \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = B \), существует константа \ (\ displaystyle N_2 \) такая, что \ (\ displaystyle | b_n − B | <ε / 2 \) для всех \ ( \ Displaystyle п≥N_2 \). Пусть \ (\ displaystyle N \) будет наибольшим из \ (\ displaystyle N_1 \) и \ (\ displaystyle N_2 \).x] = \ lim_ {x → ∞} xln (1+ \ dfrac {4} {x}) \).

Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенную форму \ (\ displaystyle ∞⋅0 \), перепишите ее в виде дроби, чтобы применить правило Л’Опиталя. Напишите

\ (\ Displaystyle \ lim_ {x → ∞} xln (1+ \ dfrac {4} {x}) = \ lim_ {x → ∞} \ dfrac {ln (1 + 4 / x)} {1 / x} \).

Поскольку правая часть теперь имеет неопределенную форму 0/0, мы можем применить правило L’Hôpital. Делаем вывод, что

\ (\ Displaystyle \ lim_ {x → ∞} \ dfrac {ln (1 + 4 / x)} {1 / x} = \ lim_ {x → ∞} \ dfrac {4} {1 + 4 / x} = 4.n}. \) Определите, сходится ли последовательность. Если он сходится, найдите его предел.

Подсказка

Воспользуйтесь правилом L’Hôpital.

Ответ

Последовательность сходится, и ее предел равен \ (\ displaystyle 0 \)

Напомним, что если \ (\ displaystyle f \) является непрерывной функцией со значением \ (\ displaystyle L \), то \ (\ displaystyle f (x) → f (L) \) как \ (\ displaystyle x → L \).2})} = \ sqrt {5}. \]

Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) и предположим, что существует действительное число \ (\ displaystyle L \) такое, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \). Предположим, \ (\ displaystyle f \) — непрерывная функция в \ (\ displaystyle L \). Тогда существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ displaystyle f \) определено для всех значений an для \ (\ displaystyle n≥N \), и последовательность \ (\ displaystyle {f (a_n) } \) сходится к \ (\ displaystyle f (L) \) (Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).

Рис. \ (\ PageIndex {4} \): Поскольку \ (\ displaystyle f \) является непрерывной функцией, как входы \ (\ displaystyle a_1, a_2, a_3,… \) подход \ (\ displaystyle L \), выходы \ (\ displaystyle f (a_1), f (a_2), f (a_3),… \) подход \ (\ displaystyle f (L) \).

Проба

Пусть \ (\ displaystyle ϵ> 0. \) Поскольку \ (\ displaystyle f \) является непрерывным в \ (\ displaystyle L \), существует \ (\ displaystyle δ> 0 \) такое, что \ (\ displaystyle | f (Икс) −f (L) | <ε \), если \ (\ Displaystyle | x − L | <δ \). Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует \ (\ displaystyle N \) такая, что \ (\ displaystyle | a_n − L | <δ \) для всех \ ( \ Displaystyle п≥N \).2}) = cos (0) = 1. \)

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Определите, сходится ли последовательность \ (\ displaystyle {\ sqrt {\ dfrac {2n + 1} {3n + 5}}} \). Если он сходится, найдите его предел.

Подсказка

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {2n + 1} {3n + 5}}. \)

Ответ

Последовательность сходится, и ее предел равен \ (\ displaystyle \ sqrt {2/3} \).

Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы о сжатии для пределов, обсуждаемых во введении в пределы.

Теорема сжатия для последовательностей

Рассмотрим последовательности \ (\ displaystyle {a_n}, {b_n}, \) и \ (\ displaystyle {c_n} \). Предположим, существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что

\ [\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \) для всех \ (\ displaystyle n≥N. \]

Если существует действительное число \ (\ displaystyle L \) такое, что

\ [\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = L = \ lim_ {n → ∞} c_n, \]

, тогда \ (\ displaystyle {b_n} \) сходится и \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = L \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): каждый термин bn удовлетворяет \ (\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \), а последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) и \ (\ displaystyle {c_n} \) сходятся к тот же предел, поэтому последовательность \ (\ displaystyle {b_n} \) также должна сходиться к тому же пределу.

Проба

Пусть \ (\ displaystyle ε> 0. \) Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует целое число \ (\ displaystyle N_1 \) такое, что \ (\ displaystyle | a_n − L | <ε \) для всех \ (\ displaystyle n≥N_1 \).Точно так же, поскольку \ (\ displaystyle {c_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует целое число \ (\ displaystyle N_2 \) такое, что \ (\ displaystyle | c_n − L | <ε \) для всех \ (\ Displaystyle п≥N_2 \). По предположению существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \) для всех \ (\ displaystyle n≥N \). Пусть \ (\ displaystyle M \) будет наибольшим из \ (\ displaystyle N_1, N_2 \) и \ (\ displaystyle N \). Мы должны показать, что \ (\ displaystyle | b_n − L | <ε \) для всех \ (\ displaystyle n≥M \). Для всех \ (\ displaystyle n≥M \),

\ [\ displaystyle −ε <- | a_n − L | ≤a_n − L≤b_n − L≤c_n − L≤ | c_n − L | <ε \]

Следовательно, \ (\ displaystyle −ε

Ограниченные последовательности

Теперь обратим наше внимание на одну из наиболее важных теорем, касающихся последовательностей: теорему о монотонной сходимости. Прежде чем сформулировать теорему, нам нужно ввести некоторую терминологию и мотивацию. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.

Определение: Связанные последовательности

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет значение , ограниченное выше , если существует действительное число \ (\ displaystyle M \) такое, что

\ (\ Displaystyle a_n≤M \)

для всех натуральных чисел \ (\ displaystyle n \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет значение , ограниченное ниже , если существует действительное число \ (\ displaystyle M \) такое, что

\ (\ Displaystyle M≤a_n \)

для всех натуральных чисел \ (\ displaystyle n \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это ограниченная последовательность , если она ограничена сверху и ограничена снизу.

Если последовательность не ограничена, это неограниченная последовательность.

Например, последовательность \ (\ displaystyle {1 / n} \) ограничена выше, потому что \ (\ displaystyle 1 / n≤1 \) для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \).n} \) — неограниченная последовательность.

Теперь обсудим связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) неограничена. Тогда он не ограничен сверху, не ограничен снизу или и тем, и другим. В любом случае есть члены, произвольно большие по величине по мере того, как \ (\ displaystyle n \) становится больше. В результате последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) не может сходиться. Следовательно, ограниченность — необходимое условие сходимости последовательности.

Сходящиеся последовательности ограничены

Если последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится, то она ограничена.n} \) ограничен, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \) и никогда не приближается к конечному числу. Теперь обсудим достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.

Рассмотрим ограниченную последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \). Предположим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) увеличивается. То есть \ (\ displaystyle a_1≤a_2≤a_3…. \) Поскольку последовательность увеличивается, члены не колеблются. Следовательно, есть две возможности.Последовательность могла расходиться до бесконечности, а могла сходиться. Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится. Например, рассмотрим последовательность

\ [\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}, \ dfrac {2} {3}, \ dfrac {3} {4}, \ dfrac {4} {5},…}. \]

Поскольку эта последовательность возрастает и ограничена сверху, она сходится. Далее рассмотрим последовательность

\ [\ displaystyle {2,0,3,0,4,0,1, — \ dfrac {1} {2}, — \ dfrac {1} {3}, — \ dfrac {1} {4}, …}.\]

Несмотря на то, что последовательность не увеличивается для всех значений \ (\ displaystyle n \), мы видим, что \ (\ displaystyle -1/2 <-1/3 <-1/4 <⋯ \). Следовательно, начиная с восьмого члена \ (\ displaystyle a_8 = −1 / 2 \), последовательность увеличивается. В этом случае мы говорим, что последовательность в конечном итоге увеличивается. Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Верно также и то, что если последовательность убывает (или со временем убывает) и ограничена снизу, она также сходится.

Определение

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) увеличивается для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если

\ (\ displaystyle a_n≤a) n + 1 \) для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) уменьшается для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если

\ (\ displaystyle a_n≥a_ {n + 1} \) для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \).

Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это монотонная последовательность для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если она увеличивается для всех \ (n≥n_0 \) или уменьшается для всех \ (\ Displaystyle п≥n_0 \).

Теперь у нас есть необходимые определения для формулировки теоремы о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.

Определение: теорема о монотонной сходимости

Если \ (\ displaystyle {a_n} \) является ограниченной последовательностью и существует такое положительное целое число n0, что \ (\ displaystyle {a_n} \) является монотонным для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), то \ ( \ displaystyle {a_n} \) сходится.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки данного текста. Вместо этого мы предоставляем график, чтобы интуитивно показать, почему эта теорема имеет смысл (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться.n} {n!} = \ dfrac {4} {n + 1} ⋅a_n≤a_n \), если \ (\ displaystyle n≥3. \)

Следовательно, последовательность убывает для всех \ (\ displaystyle n≥3 \). Кроме того, последовательность ограничена внизу \ (\ displaystyle 0 \), потому что \ (\ displaystyle 4n / n! ≥0 \) для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \). Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.

Чтобы найти предел, мы используем тот факт, что последовательность сходится, и пусть \ (\ displaystyle L = \ lim_ {n → ∞} a_n \). Обратите внимание на это важное наблюдение.Рассмотрим \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_ {n + 1} \). С

\ (\ Displaystyle {a_ {n + 1}} = {a_2, a_3, a_4,…}, \)

единственная разница между последовательностями \ (\ displaystyle {a_ {n + 1}} \) и \ (\ displaystyle {a_n} \) заключается в том, что \ (\ displaystyle {a_ {n + 1}} \) опускает первую срок. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость последовательности,

\ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_ {n + 1} = \ lim_ {n → ∞} a_n = L. \)

Объединяя этот факт с уравнением

\ (\ Displaystyle a_ {n + 1} = \ dfrac {4} {n + 1} a_n \)

и взяв предел обеих частей уравнения

\ (\ Displaystyle \ lim_ {п → ∞} a_ {n + 1} = \ lim_ {n → ∞} \ dfrac {4} {n + 1} a_n \),

можно сделать вывод, что

\ (\ Displaystyle L = 0⋅L = 0. 2_n + 1} {2a_n} \).2_н \).

Разделив обе стороны на \ (\ displaystyle 2a_n \), получаем

\ (\ Displaystyle \ dfrac {a_n} {2} + \ dfrac {1} {2a_n} ≤a_n. \)

Используя определение \ (\ displaystyle a_ {n + 1} \), мы заключаем, что

\ (\ Displaystyle a_ {n + 1} = \ dfrac {a_n} {2} + \ dfrac {1} {2a_n} ≤a_n \).

Поскольку \ (\ displaystyle {a_n} \) ограничено снизу и убывает по теореме о монотонной сходимости, он сходится.

Чтобы найти предел, пусть \ (\ displaystyle L = \ lim_ {n → ∞} a_n \).2 = 1 \), что означает \ (\ Displaystyle L = ± 1 \). Поскольку все члены положительны, предел \ (\ displaystyle L = 1 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \), определенную рекурсивно, так что \ (\ displaystyle a_1 = 1 \), \ (\ displaystyle a_n = a_ {n − 1} / 2 \). Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найдите ее предел.

Подсказка

Показать, что последовательность убывает и ограничена снизу.

Ответ

\ (\ Displaystyle 0 \).

Определение: числа Фибоначчи

Число Фибоначчи определяется рекурсивно последовательностью \ (\ displaystyle {F_n} \), где \ (\ displaystyle F_0 = 0, F_1 ​​= 1 \) и для \ (\ displaystyle n≥2, \)

\ (\ Displaystyle F_n = F_ {n − 1} + F_ {n − 2}. \)

Здесь мы рассмотрим свойства чисел Фибоначчи.

1.п \). Используйте начальные условия \ (\ displaystyle F_0 \) и \ (\ displaystyle F_1 \), чтобы определить значения констант \ (\ displaystyle c_1 \) и \ (\ displaystyle c_2 \), и напишите закрытую формулу \ (\ displaystyle Ф_н \).

3. Используйте ответ в 2 в. чтобы показать, что

\ [\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} \ dfrac {F_ {n + 1}} {F_n} = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2}. \]

Число \ (\ displaystyle ϕ = (1+ \ sqrt {5}) / 2 \) известно как золотое сечение (рисунок и рисунок).

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Семена подсолнечника имеют спиральные узоры, изгибающиеся влево и вправо.Количество спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи — всегда. (кредит: модификация работы Эсдраса Кальдерана, Wikimedia Commons) Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): пропорция золотого сечения присутствует во многих известных образцах искусства и архитектуры. Древнегреческий храм, известный как Парфенон, был спроектирован с такими пропорциями, и соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr).

бесконечных последовательностей и серий | Безграничное исчисление

Последовательности

Последовательность — это упорядоченный список объектов, который можно рассматривать как функцию, домен которой — натуральные числа.

Цели обучения

Различают последовательность и набор

Основные выводы

Ключевые моменты

• Как и набор, последовательность содержит элементы (также называемые элементами). В отличие от набора, порядок имеет значение в последовательности, и одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных местах.
• Термины последовательности обычно обозначаются одной переменной, например [latex] a_n [/ latex], где индекс [latex] n [/ latex] указывает на [latex] n [/ latex]-й элемент последовательности. .
• Последовательности, элементы которых напрямую связаны с предыдущими элементами, часто задаются с помощью рекурсии.

Ключевые термины

• set : набор отдельных объектов, рассматриваемых как самостоятельный объект
• рекурсия : акт определения объекта (обычно функции) в терминах самого этого объекта

Последовательность — это упорядоченный список объектов (или событий). Как и набор, он содержит элементы (также называемые элементами или терминами).Количество упорядоченных элементов (возможно, бесконечное) называется длиной последовательности. В отличие от набора, порядок имеет значение в последовательности, и одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных местах последовательности. Точнее, последовательность может быть определена как функция, домен которой является счетным, полностью упорядоченным множеством, таким как натуральные числа.

Примеры: [латекс] (M, A, R, Y) [/ latex] — это последовательность, отличная от [latex] (A, R, M, Y) [/ latex]. Кроме того, последовательность [latex] (1, 1, 2, 3, 5, 8) [/ latex], которая содержит число [latex] 1 [/ latex] в двух разных позициях, является допустимой последовательностью.Последовательности могут быть конечными, как в этом примере, или бесконечными, например, последовательность всех четных положительных целых чисел [latex] (2, 4, 6, \ cdots) [/ latex]. Конечные последовательности иногда называют строками или словами, а бесконечные последовательности — потоками. Пустая последовательность [latex] (\ quad) [/ latex] включена в большинство понятий последовательности, но может быть исключена в зависимости от контекста.

Индексирование

Термины последовательности обычно обозначаются одной переменной, например [latex] a_n [/ latex], где индекс [latex] n [/ latex] указывает на [latex] n [/ latex] -й элемент последовательности. .2} [/ латекс].

Конвергентная последовательность : График сходящейся последовательности ([latex] a_n [/ latex]) показан синим цветом. Визуально мы можем видеть, что последовательность сходится к пределу [latex] 0 [/ latex] по мере увеличения [latex] n [/ latex].

Указание последовательности с помощью рекурсии

Последовательности, элементы которых напрямую связаны с предыдущими элементами, часто задаются с помощью рекурсии. Это контрастирует с указанием элементов последовательности с точки зрения их положения.Чтобы указать последовательность с помощью рекурсии, требуется правило для построения каждого последовательного элемента в терминах элементов перед ним. Кроме того, должно быть указано достаточное количество начальных элементов, чтобы правило можно было указать новые элементы последовательности.

Пример

Последовательность Фибоначчи может быть определена с использованием рекурсивного правила вместе с двумя начальными элементами. \ infty a_n [/ латекс].{\ infty} a_n \ Leftrightarrow L = \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} S_k [/ latex].

Ключевые термины

• последовательность : упорядоченный список объектов
• Дихотомия Зенона : То, что находится в движении, должно достигнуть промежуточной стадии, прежде чем достигнет цели.

Ряд, неформально говоря, представляет собой сумму членов последовательности. Конечные последовательности и серии определили первый и последний члены, тогда как бесконечные последовательности и серии продолжаются бесконечно.n} = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ cdots} [/ latex]

Zeno’s Paradox : Предположим, вы работаете от места [latex] x = 0 [/ latex] к [latex] x = 100 [/ latex]. Прежде чем вы сможете добраться туда, вы должны пройти половину пути. Прежде чем вы сможете добраться до середины пути, вы должны пройти четверть пути. Прежде чем проехать четверть, вы должны проехать одну восьмую; перед восьмым — одна шестнадцатая; и так далее.

Члены ряда часто создаются в соответствии с определенным правилом, например, с помощью формулы или алгоритма.Поскольку существует бесконечное количество членов, это понятие часто называют бесконечным рядом. В отличие от конечных суммирований, бесконечные ряды нуждаются в инструментах математического анализа, в частности, в понятии пределов, чтобы их можно было полностью понять и обработать. Помимо того, что бесконечные ряды широко используются в математике, они также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика, информатика и финансы.

Определение

Для любой последовательности рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, их функций и т. Д.{\ infty} a_n \ Leftrightarrow L = \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} S_k} [/ latex]

Интегральный тест и оценки сумм

Интегральный тест — это метод проверки бесконечной серии неотрицательных членов на сходимость путем сравнения их с несобственным интегралом.

Цели обучения

Опишите цель интегрального теста

Основные выводы

Ключевые моменты

• Интегральный тест использует монотонно убывающую функцию [latex] f [/ latex], определенную на неограниченном интервале [latex] [N, \ infty) [/ latex] (где [latex] N [/ latex] — целое число) .\ infty \ frac1n [/ latex] расходится.

Ключевые термины

• неправильный интеграл : интеграл, в котором хотя бы одна из конечных точек принимается в качестве предела либо до определенного числа, либо до бесконечности
• натуральный логарифм : логарифм по основанию [латекс] е [/ латекс]

Интегральный тест на сходимость — это метод, используемый для проверки бесконечного ряда неотрицательных членов на сходимость. Он был разработан Колином Маклореном и Огюстэном-Луи Коши и иногда известен как тест Маклорена – Коши.\ varepsilon} \ Bigr) \ le \ frac1 \ varepsilon} [/ латекс]

Интегральный тест : Интегральный тест, применяемый к гармоническому ряду. {1+ \ varepsilon}}} = \ infty} [/ латекс]

за каждый [латекс] \ varepsilon> 0 [/ latex], а также то, расходится ли соответствующая серия [latex] f (n) [/ latex].Как только такая последовательность будет найдена, можно задать аналогичный вопрос о [латексе] f (n) [/ latex], взявшем на себя роль [latex] \ frac {1} {n} [/ latex] или так далее. Таким образом, можно исследовать границу между расхождением и сходимостью бесконечных рядов.

Сравнительные тесты

Сравнительный тест может означать либо тест сравнения пределов, либо тест прямого сравнения, оба из которых могут использоваться для проверки сходимости ряда.

Цели обучения

Различия тестов сравнения пределов и прямого сравнения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Для последовательностей [латекс] \ {a_n \} [/ latex], [latex] \ {b_n \} [/ latex], только с неотрицательными терминами, если [latex] \ lim_ {n \ to \ infty } \ frac {a_n} {b_n} = c [/ latex] с [latex] 0
• Если бесконечный ряд [latex] \ sum b_n [/ latex] сходится и [latex] 0 \ le a_n \ le b_n [/ latex] для всех достаточно больших [latex] n [/ latex] (то есть для всех [ latex] n> N [/ latex] для некоторого фиксированного значения [latex] N [/ latex]), то бесконечный ряд [latex] \ sum a_n [/ latex] также сходится.
• Если бесконечный ряд [latex] \ sum b_n [/ latex] расходится и [latex] 0 \ le a_n \ le b_n [/ latex] для всех достаточно больших [latex] n [/ latex], то бесконечный ряд [latex] ] \ sum a_n [/ latex] тоже расходится.

Ключевые термины

• интегральный тест : метод, используемый для проверки бесконечного ряда неотрицательных членов на сходимость путем сравнения его с несобственными интегралами
• неправильный интеграл : интеграл, в котором хотя бы одна из конечных точек принимается в качестве предела либо до определенного числа, либо до бесконечности

Сравнительные испытания могут означать либо предельные сравнительные испытания, либо прямые сравнительные испытания. 2} [/ latex].2} [/ latex]) тоже расходится.

Тест прямого сравнения

Тест прямого сравнения позволяет вывести сходимость или расходимость бесконечного ряда или неправильного интеграла. В обоих случаях тест работает, сравнивая данный ряд или интеграл с тем, свойства сходимости которого известны. В этом атоме мы проверим только случай серии.

Для последовательностей [латекс] \ {a_n \} [/ latex], [latex] \ {b_n \} [/ latex] с неотрицательными терминами:

• Если бесконечный ряд [latex] \ sum b_n [/ latex] сходится и [latex] 0 \ le a_n \ le b_n [/ latex] для всех достаточно больших [latex] n [/ latex] (то есть для всех [latex] n> N [/ latex] для некоторого фиксированного значения [latex] N [/ latex]), то бесконечный ряд [latex] \ sum a_n [/ latex] также сходится.{n-1} \, a_n [/ latex] с [latex] a_n> 0 [/ latex] для всех [latex] n [/ latex].

  Цели обучения

  Описать свойства чередующегося ряда и требования к сходимости одного ряда

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Теорема, известная как «тест Лейбница», или тест чередующихся серий, говорит нам, что чередующиеся серии сходятся, если члены [latex] a_n [/ latex] монотонно сходятся к [latex] 0 [/ latex].
  • Знаки общих терминов чередуются между положительными и отрицательными.{n-1} \, a_n} [/ латекс]

    с [latex] a_n> 0 [/ latex] для всех [latex] n [/ latex]. Знаки общих терминов чередуются между положительными и отрицательными. Как и любой ряд, чередующийся ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится связанная с ним последовательность частичных сумм.

    Испытание чередующейся серии

    Теорема, известная как «тест Лейбница», или тест чередующихся серий, говорит нам, что чередующиеся серии будут сходиться, если члены [latex] a_n [/ latex] сходятся к [latex] 0 [/ latex] монотонно.k \, a_k \\ & = a_ {m + 1} -a_ {m + 2} + a_ {m + 3} -a_ {m + 4} + \ cdots + a_n \\ & = \ displaystyle a_ {m + 1} — (a_ {m + 2} -a_ {m + 3}) — \ cdots-a_n \ le a_ {m + 1} \ le a_ {m} \\ & \ quad [a_ {n} \ text { убывает}]. \ end {align} [/ latex]

    Поскольку [latex] a_n [/ latex] монотонно убывает, члены отрицательные. Таким образом, мы имеем окончательное неравенство [латекс] S_m — S_n \ le a_ {m} [/ latex]. \ infty \ left | a_n \ right | = L [/ latex] для некоторого действительного числа [latex] L [/ latex].

  • Корневой тест — это тест сходимости бесконечного ряда, который использует предел [латекс] L = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ frac {a_ {n + 1}} {a_n} \ right | [/ латекс].
  • Корневой тест — это критерий сходимости бесконечного ряда, использующий верхний предел [латекс] C = \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ sqrt [n] {| a_n |} [/ latex].

  Ключевые термины

  • слагаемое : то, что складывается или суммируется
  • неправильный интеграл : интеграл, в котором хотя бы одна из конечных точек принимается в качестве предела либо до определенного числа, либо до бесконечности
  • верхний предел : верхняя грань набора точек накопления заданной последовательности или набора

  Бесконечный ряд чисел называется абсолютно сходящимся (или абсолютно сходящимся), если сумма абсолютного значения слагаемого конечна.\ infty a_n [/ latex], где каждый член является действительным или комплексным числом, а [latex] a_n [/ latex] отличен от нуля, когда n велико. Тест был впервые опубликован Жаном ле Рондом д’Аламбером и иногда известен как критерий отношения Д’Аламбера.

  В обычной форме теста используется предел, [латекс] L = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ frac {a_ {n + 1}} {a_n} \ right | [/ latex] . Тест соотношения утверждает, что

  • если [latex] L <1 [/ latex], то ряд абсолютно сходится;
  • если [latex] L> 1 [/ latex], то ряд не сходится;
  • если [latex] L = 1 [/ latex] или предел не существует, то проверка не дает результатов, потому что существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, которые удовлетворяют этому случаю.

  Корневой тест

  Корневой тест — это критерий сходимости (тест сходимости) бесконечного ряда. Это зависит от количества [латекс] \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ sqrt [n] {| a_n |} [/ latex], где [latex] a_n [/ latex] — термины серии, и состояния что ряд сходится абсолютно, если эта величина меньше единицы, и расходится, если она больше единицы. Это особенно полезно при работе с силовыми рядами.

  Корневой критерий был впервые разработан Огюстэном-Луи Коши и поэтому иногда известен как критерий корня Коши или критерий радикальности Коши.\ infty a_n [/ latex], корневой тест использует число [latex] C = \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ sqrt [n] {\ left | a_n \ right |} [/ latex], где «lim sup ”обозначает верхний предел, возможно ∞. Обратите внимание, что если [latex] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sqrt [n] {\ left | a_n \ right |} [/ latex] сходится, то он равен [latex] C [/ latex] и может использоваться вместо этого в корневом тесте. Корневой тест утверждает, что

  • если [latex] C <1 [/ latex], то ряд абсолютно сходится;
  • если [latex] C> 1 [/ latex], то ряд расходится;
  • если [latex] C = 1 [/ latex] и предел приближается строго сверху, то ряд расходится;
  • , в противном случае тест будет безрезультатным (ряды могут расходиться, сходиться абсолютно или сходиться условно).2}}} [/ latex]

    и есть другие, для которых [latex] C = 1 [/ latex] и серия расходится, например:

    [латекс] \ displaystyle {\ sum {\ frac {1} {n}}} [/ латекс]

    Ratio Test : В этом примере соотношение соседних членов в синей последовательности сходится к [latex] L = \ frac {1} {2} [/ latex]. Выбираем [латекс] r = \ frac {L + 1} {2} = \ frac {3} {4} [/ latex]. Тогда синяя последовательность преобладает над красной последовательностью для всех [латекс] n \ geq 2 [/ latex]. Красная последовательность сходится, синяя — тоже.

    Советы по тестированию серии

    Тесты сходимости — это методы проверки сходимости или расходимости бесконечного ряда.

    Цели обучения

    Сформулируйте три метода, которые помогут при проверке сходимости ряда

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Не существует единого теста сходимости, который работал бы для всех серий.
    • Практика и обучение помогут выбрать правильный тест для данной серии.
    • Мы узнали о тесте корень / отношение, интегральном тесте и тесте прямого / предельного сравнения.

    Ключевые термины

    • условная сходимость : Ряд или интеграл считаются условно сходящимися, если они сходятся, но не сходятся абсолютно.

    Тесты сходимости — это методы проверки сходимости, условной сходимости, абсолютной сходимости, интервала сходимости или расходимости бесконечного ряда.При проверке сходимости ряда следует помнить, что не существует единого теста сходимости, который работал бы для всех рядов. Вы должны угадать и выбрать правильный тест для данной серии. Практика и обучение помогут вам ускорить этот процесс «угадывания».

    Вот краткое изложение теста сходимости, который мы изучили:

    Список тестов

    Предел слагаемого: Если предел слагаемого не определен или не равен нулю, то ряды должны расходиться.

    Проверка соотношения: для [латекса] r = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {a_ {n + 1}} {a_n} \ right | [/ latex], если [латекс] r <1 [/ latex], ряд сходится; если [latex] r> 1 [/ latex], ряд расходится; если [latex] r = 1 [/ latex], тест считается безрезультатным. 3 + \ cdots} [/ латекс]

    Эти степенные ряды возникают в основном в реальном и комплексном анализе, но также встречаются в комбинаторике (под названием производящих функций) и в электротехнике (под названием [латекс] Z [/ латекс] -преобразование).Знакомую десятичную систему счисления для действительных чисел также можно рассматривать как пример степенного ряда с целочисленными коэффициентами, но с аргументом [латекс] x [/ latex], фиксированным на [latex] \ frac {1} {10} [/ латекс]. В теории чисел концепция [латексных] p [/ latex] -адических чисел также тесно связана с концепцией степенного ряда.

    Радиус схождения

    Ряд степеней сходится для одних значений переменной [latex] x [/ latex] и может расходиться для других. Все степенные ряды [latex] f (x) [/ latex] в степенях [latex] (x-c) [/ latex] сходятся в [latex] x = c [/ latex].r [/ latex], где [latex] c [/ latex] и [latex] r [/ latex] — постоянные действительные числа.

    Цели обучения

    Опишите взаимосвязь между степенными функциями и бесконечно дифференцируемыми функциями

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Поскольку все бесконечно дифференцируемые функции могут быть представлены в виде степенных рядов, любую бесконечно дифференцируемую функцию можно представить как сумму многих степенных функций (целых показателей). {n} [/ латекс].r [/ latex], где [latex] c [/ latex] и [latex] r [/ latex] — постоянные действительные числа. Многочлены состоят из степенных функций. Поскольку все бесконечно дифференцируемые функции могут быть представлены в виде степенных рядов, любую бесконечно дифференцируемую функцию можно представить как сумму многих степенных функций (целых показателей). Иногда область значений степенной функции может состоять только из действительных чисел, но обычно используется неотрицательное значение, чтобы избежать проблем с упрощением. Область определения определяется в каждом отдельном случае.{-4} [/ latex] — все функции мощности.

      Серия Тейлора и Маклорена

      Ряд Тейлора представляет функцию как бесконечную сумму членов, вычисленных из значений производных функции в одной точке.

      Цели обучения

      Определить серию Маклорена как частный случай серии Тейлора

      Основные выводы

      Ключевые моменты

      • Любое конечное число начальных членов ряда Тейлора функции называется многочленом Тейлора.{n} [/ латекс]. Если [latex] a = 0 [/ latex], серия называется серией Маклорена.

      Ключевые термины

      • дифференцируемая : имеющая производную, указанная для функции, область определения и ко-домен которой являются многообразиями
      • аналитическая функция : функция с действительным знаком, которая однозначно определяется через свои производные в одной точке

      Ряд Тейлора — это представление функции в виде бесконечной суммы членов, которые вычисляются из значений производных функции в одной точке.Концепция ряда Тейлора была официально введена английским математиком Бруком Тейлором в 1715 году. Если ряд Тейлора центрирован на нуле, то этот ряд также называется рядом Маклорена в честь шотландского математика Колина Маклорена, который широко использовал это частный случай серии Тейлора в 18 веке.

      Обычно функцию аппроксимируют с помощью конечного числа членов ее ряда Тейлора. Теорема Тейлора дает количественные оценки погрешности этого приближения.Любое конечное число начальных членов ряда Тейлора функции называется многочленом Тейлора. Ряд Тейлора функции — это предел полиномов Тейлора этой функции при условии, что предел существует. Функция может не быть равна своему ряду Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится в каждой точке. Функция, которая равна своему ряду Тейлора на открытом интервале (или круге на комплексной плоскости), называется аналитической функцией.

      Экспоненциальная функция как степенной ряд : экспоненциальная функция (синим цветом) и сумма первых [латекс] n + 1 [/ latex] членов ряда Тейлора при [латексе] 0 [/ латексе] (красным ) до [латекс] n = 8 [/ латекс].п} {п! }} [/ latex]

      Применения серии Тейлора

      Разложение в ряд Тейлора может помочь в приближении значений функций и вычислении определенных интегралов.

      Цели обучения

      Опишите применения расширения серии Тейлора

      Основные выводы

      Ключевые моменты

      • Частичные суммы ряда, называемые многочленами Тейлора, могут использоваться как приближения всей функции.
      • Дифференцирование и интегрирование степенных рядов может выполняться поэтапно, и, следовательно, это может быть проще, чем напрямую работать с исходной функцией.
      • (Усеченный) ряд может использоваться для численного вычисления значений функции. Это особенно полезно при вычислении специальных математических функций (таких как функция Бесселя).

      Ключевые термины

      • определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей
      • комплексный анализ : теория функций комплексного переменного; раздел математического анализа, изучающий функции комплексных чисел
      • аналитическая функция : функция с действительным знаком, которая однозначно определяется через свои производные в одной точке

      Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:

      1.Частичные суммы (полиномы Тейлора) ряда могут использоваться как приближения всей функции. Эти приближения часто бывают достаточно хорошими, если включено достаточно много членов. Аппроксимации с использованием первых нескольких членов ряда Тейлора могут сделать неразрешимые в противном случае проблемы возможными для ограниченной области; этот подход часто используется в физике.

      Многочлены Тейлора : По мере добавления дополнительных членов к многочлену Тейлора он приближается к правильной функции.3 [/ latex] можно использовать. Поскольку каждый член суммирования можно проинтегрировать отдельно, мы можем вычислить определенный интеграл, если сумма сходится.

      3. Аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфной функции на открытом диске комплексной плоскости. Это делает доступным оборудование комплексного анализа.

      4. (Усеченный) ряд может использоваться для численного вычисления значений функции. Это особенно полезно при вычислении специальных математических функций (таких как функция Бесселя).{ix} \ end {align} [/ latex]

      Этот результат имеет фундаментальное значение во многих областях математики (например, в комплексном анализе), физике и технике.

      Суммирование бесконечного ряда

      Бесконечные последовательности и ряды могут сходиться или расходиться.

      Цели обучения

      Описание свойств бесконечной серии

      Основные выводы

      Ключевые моменты

      • Бесконечные последовательности и серии продолжаются бесконечно.
      • Говорят, что ряд сходится, если последовательность частичных сумм имеет конечный предел.
      • Говорят, что ряд расходится, когда предел бесконечен или не существует.

      Ключевые термины

      • предел : значение, к которому сходится последовательность или функция
      • последовательность : упорядоченный список объектов

      Ряд — это сумма членов последовательности. Конечные последовательности и серии определили первый и последний члены, тогда как бесконечные последовательности и серии продолжаются бесконечно.{\ infty} a_n \ Leftrightarrow L = \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} S_k} [/ latex]

      Если предел бесконечен или не существует, говорят, что ряд расходится. {k} a_n = a_0 + a_1 + \ cdots + a_k [/ латекс]

      не убывает.n} + \ cdots} [/ латекс]

      сходятся? Можно ли «визуализировать» его схождение на прямой числовой? Мы можем представить линию длиной [латекс] 2 [/ латекс], с последовательными отрезками, обозначенными длиной [латекс] 1 [/ латекс], [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс], [латекс ] \ frac {1} {4} [/ latex] и т. д. Всегда есть место, чтобы отметить следующий сегмент, потому что количество оставшейся линии всегда такое же, как и в последнем отмеченном сегменте: когда мы отметили [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], у нас все еще есть кусок [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] без маркировки, так что мы определенно можем отметить следующий [латекс] \ frac { 1} {4} [/ латекс].Этот аргумент не доказывает, что сумма равна [latex] 2 [/ latex] (хотя это так), но доказывает, что это не более [latex] 2 [/ latex]. Другими словами, у ряда есть верхняя граница. Однако для доказательства того, что серия равна [latex] 2 [/ latex], требуется только элементарная алгебра. Если серия обозначена [латекс] S [/ латекс], можно увидеть, что:

      [латекс] \ displaystyle {\ frac {S} {2} \, = \ frac {1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ cdots} {2} \\ \ quad = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} + \ cdots} [/ латекс]

      Следовательно:

      [латекс] \ displaystyle {S- \ frac {S} {2} = 1 \\ S = 2} [/ латекс]

      Геометрическая сумма : Визуализация геометрической суммы в примере 2.Длина линии ([latex] 2 [/ latex]) может содержать все последовательные отрезки с размеченной длиной [latex] 1 [/ latex], [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] и т. д.

      Для этих конкретных примеров есть простые способы проверить сходимость. Однако может случиться так, что простых способов проверить сходимость не существует. Для этих общих случаев мы можем поэкспериментировать с несколькими хорошо известными тестами сходимости (такими как тест отношения, интегральный тест и т.