Здесь найдется всё! УДИВИТЕЛЬНЫЙ ДИСК ЭЙЛЕРА А ну-ка, крутаните монетку ребром на столе! Уже крутится? А перед самыьм падением она внезапно увеличит скорость вращения и резко затормозит, издавая дребезжащий звук, но не давая ни насладиться им, ни рассмотреть повнимательней процесс падения. Когда-то, в конце 19 столетия математиками были выведены уравнения движения для катящегося диска, затем другие уже, но столь же неутомимые математики, исследовали проблему устойчивости дисков при вращении. Движение вращающегося диска хорошо описывается уравнениями волчка в гравитационном поле.В наше время в магазинах любому любителю «покрутить» предложат фирменную игрушку «диск Эйлера». Великолепный металлический диск с голографическими наклейками по ободу будет крутиться перед вашими глазами на зеркальной подставке, завораживая игрой цвета и звука. Кто же был автором этой игрушки? Неужели сам Леонард Эйлер, знаменитый математик 18 века? Ведь какая-то часть его работ тоже была посвящена вращению … В качестве игрушки вращающийся диск был впервые предъявлен зрителям Джозефом Бендиком в 90-х годах 20-го века. Проведя наблюдения за вращающейся монетой, он сумел добиться, чтобы диск вращался до 3 минут и даже более. Изобретение Дж. Бендика представляло собой плоский диск в виде хоккейной шайбы из хромированной стали с полированными скругленными краями диаметром в 3 дюйма и толщиной в ½ дюйма. Диск вращался на слегка вогнутом круглом зеркале диаметром 9 дюймов. Конечно, вы уже сбегали в магазин сувениров и «диск Эйлера» у вас в руках! Запускаем, и пока он крутится, в уме начинают созревать идеи по поводу того, как объяснить его движение. Неистребимая тяга к знанию заставляет вас рыться в книгах, вспоминать, разбираться в теории вращательного движения. Итак, диск Эйлера – это твердое цилиндрическое тело, имеющее единственную точку контакта с горизонтальной поверхностью, по которой он одновременно и катится, и вращается. Интересно, чтодвижение диска имеет две особенности: резкое увеличение частоты слышимого звука в конце вращения и внезапную остановку диска. Причем вращающийся диск никогда не теряет контакта с поверхностью. Время вращения диска почти не зависит от того, под каким углом был закручен диск, и какова была его скорость вращения при пуске. Вращение дисков проверяли даже в вакууме! Запускали сплошные диски, просто кольца и кольца с покрытием из тефлона. Оказывается, что отсутствие воздуха не очень сильно влияло на поведение вращающегося диска, хотя тефлоновое покрытие значительно увеличивало время вращения.  При вращении запущенный диск обладает одновременно и потенциальной и кинетической энергией. Потенциальной — за счет вертикального положения и кинетической — за счет вращения. В любой момент вращения баланс двух сил: силы тяжести и реакции опоры не дают диску упасть. И, если бы не трение и вибрации, диск вращался бы в течение очень долгого времени. Но, как и при любом другом движении, на скорость вращения влияет затормаживающая сила трения о воздух, а также трение между диском и поверхностью. Кинетическая энергия вращения диска, потерянная в результате имеющегося трения, компенсируется за счет уменьшающейся потенциальной энергии диска. В результате центр массы диска опускается, все более приближаясь к поверхности, на которой происходит его вращение. Это увеличивает плечо момента силы между точкой контакта с поверхностью и центром массы, что приводит к росту вращающего момента. Увеличение вращающего момента постепенно меняет направление оси вращения, которая занимает все более вертикальное положение. Диск начинает оседать, прокручиваясь на ребре. Угол наклона между диском и поверхностью становится все меньше. Скорость вращения диска возрастает. Резкому увеличению частоты вращения диска способствует тонкая прослойка воздуха между диском и поверхностью, на которой он вращается. Внутреннее трение воздуха способствует торможению монеты. При очень малом угле наклона вибрации диска и поверхности приводят к потере контакта между ними, и движение диска резко прекращается. Смотрим, как вращается диск Эйлера? — http://www.youtube.com/embed/ug2bKCG4gZY На первый взгляд все простенько, но что вы скажете о таких понятиях, как сингулярность, диссипация, бифуркации? А при объяснении физики движения «диска Эйлера» без них не обойтись! Вот так! Наконец, вкусив тайны физики движения диска и научившись произносить «страшные слова» (сингулярность, диссипация и бифуркации), мы последний раз ставим на ребро диск Эйлера, раскручиваем его и успокоенные увиденным ( а всё оказалось именно так, как пишут именитые ученые) кладем на полку. Любознательный человек будет поражен тем, сколько интересных задач можно решить с помощью этой маленькой игрушки. Кто не знает, что такое турбулентность? Можно не знать этого термина, но большинство из вас испытывало внезапную тряску самолета в воздухе. Конструкторы самолетов стремятся предотвратить образования завихрений воздуха вокруг самолета при полете, т.к. на больших скоростях они отрицательно сказываются на целостности конструкции. Воздействие же гигантских атмосферных вихрей на самолет тоже может закончиться плачевно. А причем здесь диск Эйлера? Оказывается, процессы вихреобразования можно объяснить, используя теорию вращения, разработанную для дисков. В результате исследовательских работ проведены даже аналогии между изменением звука при вращении диска и звуками «визжащих» тормозов автомобилей. Часть энергии диска на заключительном этапе вращения переходит в энергию звуковых колебаний, и то же самое происходит в тормозах при экстренном торможении автомобиля. Вот оказывается, как много можно увидеть во вращении обыкновенной монеты, а уж тем более, если у тебя в руках такая научная игрушка, как «диск Эйлера»! Кстати, а что похожего можно заметить в поведении скачущего по твердой поверхности шарика от пинг-понга? Но, как принято говорить в последнее время, это уже совсем другая история … P.S. для преподавателей: |
События
МУЗЕЙ КОСМОНАВТИКИ
22 октября состоялось долгожданное открытие интерактивного музея Российской космонавтики на базе Планетария имени Ю.
А. Гагарина.
На открытии музея присутствовали глава города, представители управлений Администрации города, депутаты Городской Думы, Законодательного Собрания Краснодарского края, члены отряда юных космонавтов, школьники и молодёжь города.
В помещении, выполненном в форме пассажирского отсека космического корабля с иллюминаторами, размещены интерактивные космические экспонаты, филателистическая и нумизматическая коллекции на космическую тематику. Часть экспонатов для экспозиции предоставил и в дальнейшем будет предоставлять Роскосмос.
Оборудовать помещение, в котором разместился музей космонавтики, получилось благодаря победному участию нашего планетария в конкурсах «Гранты губернатора Кубани» и «Марафон инициатив — 2022».
Впервые, 7 октября в Новороссийском Планетарии имени Ю.А. Гагарина состоится концерт Космической музыки под куполом Вселенной!
Завораживающая живая музыка автора-исполнителя Фёдора Трифонова (г. Москва) «Атмосфера 13» и видеоарт полнокупольного экрана оставят незабываемые впечатления и создадут атмосферу полного присутствия Космоса!
Продолжительность концерта 1 час.
Билеты можно приобрести в кассе Планетария. Количество мест ограничено.
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
В рамках реализации президентского конкурса проектов «Астрономия и звёзды рядом с нами» и муниципального конкурса проектов «В космос скучных не берем» планетарий организовал работу летней детской оздоровительной площадки.
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
Ребята изучают астрономию через увлекательные полнокупольные кинолекции и историю отечественной космонавтики через музейные экспонаты в фойе.
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
Дети участвуют в активных квест-играх со Звездочётом.
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
Ребята отвечают на вопросы викторин «Помним Гагарина».
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
Юные участники наблюдают за солнцем в солнечный телескоп.
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
Дети занимаются творчеством на мастер-классах.
КОСМИЧЕСКОЕ ЛЕТО 2022
Юные участники учатся мастерить собственными руками модели ракет.
Новороссийский Планетарий имени Юрия Алексеевича Гагарина, выиграв Президентский грант «Астрономия и звёзды рядом с нами», приобрёл мобильный полнокупольный планетарий, в котором создаётся эффект абсолютного погружения в космическое пространство. И теперь жители даже самых отдалённых районов и населённых пунктов города Новороссийска смогут увидеть увлекательные и познавательные кинолекции о ближнем и дальнем космосе.
Новые победы!
«Астрономия и звезды рядом с нами»
НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ В ОБЛАСТИ КУЛЬТУРЫ «ЦЕНТР ТВОРЧЕСКИХ ИНИЦИАТИВ «ПРИТЯЖЕНИЕ» (На базе Новороссийского Планетария) получила президентский грант на реализацию проекта «Астрономия и звезды рядом с нами».
Проект представляет собой мероприятия, направленные на изучение основ астрономии детьми из семей, преимущественно, находящихся в трудных жизненных ситуациях и проживающих в наиболее отдаленных сельских поселениях города Новороссийск — станица Раевская, станица Натухаевская, поселок Верхнебаканский.
Это масштабный, совершенно новый проект для нашего города. Он несет большие перспективы для развития детей!
Новые экспонаты в планетарии
В 2021 году Московский Планетарий безвозмездно передал Новороссийскому Планетарию экспонаты астрономического интерактивного комплекса для музейной экспозиции, где с интересом можно понаблюдать за Солнцем в телескоп, комбинировать различные химические вещества в виртуальной лаборатории, учиться безопасно осуществлять стыковку пилотируемого корабля и Международной космической станции. Наглядную демонстрацию сразу нескольких законов физики подарит Диск Эйлера. Не только школьники, но и их родители с удовольствием фотографируются в оригинальной интерактивной фотозоне, переносящей наших гостей в открытый космос.
12 АПРЕЛЯ 2021 ГОД
СТЕЛА «УТРО КОСМИЧЕСКОЙ ЭРЫ»
12 апреля 2021 года в честь 60-летия одного из самых грандиозных событий в истории человечества — первого пилотируемого полета человека в космос, 60-летия открытия Новороссийского Планетария, 60-летия присвоения Планетарию имени Первого космонавта Ю.
А. Гагарина состоялось торжественное открытие стелы «Утро космической эры» на площади перед Планетарием имени Ю.А. Гагарина.
Гастроли Санкт-Петербургского планетария 2019 год
12 АПРЕЛЯ 2018 ГОД
АЛЛЕЯ ГЕРОЕВ-КОСМОНАВТОВ
11 апреля 2018 года по инициативе руководителя Планетария Татьяны Ивановны Малаховой были высажены деревья рядом с площадью у планетария.
12 апреля 2018 года состоялось торжественное открытие «Аллеи Героев-космонавтов» в честь почетных гостей города-героя Новороссийска.
Гастроли Санкт-Петербургского планетария 2018 год
12 АПРЕЛЯ 2016 ГОД
РАКЕТА-НОСИТЕЛЬ «ВОСТОК»
12 апреля 2016 года, в год 55-летия со дня первого полета человека в космос, состоялось открытие макета космической техники – ракеты-носителя «Восток», на котором 12 апреля 1961 года совершил свой легендарный полет в космос Юрий Алексеевич Гагарин.
12 АПРЕЛЯ 2016 ГОД
РАКЕТА-НОСИТЕЛЬ «ВОСТОК»
Флешмоб, посвященный 55-летию со дня первого полета человека в космос
12 АПРЕЛЯ 2016 ГОД
РАКЕТА-НОСИТЕЛЬ «ВОСТОК»
2000 шаров запустили участники праздника в небо вместе с макетом корабля «Восток», сделанным своими руками
12 АПРЕЛЯ 2015 ГОД
ПАМЯТНИК — БЮСТ ЮРИЯ АЛЕКСЕЕВИЧА ГАГАРИНА
12 апреля 2015 года, в год празднования 70-летия Великой Победы, на площади у Планетария имени Ю.
А. Гагарина был открыт памятник — бюст Юрия Алексеевича Гагарина.
12 АПРЕЛЯ 2014 ГОД
ТЕАТРАЛИЗАЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОГО ПОЛЕТА «ОН СКАЗАЛ: «ПОЕХАЛИ!»
12 апреля 2014 года в честь 80-летия со дня рождения Ю.А. Гагарина впервые состоялась театрализованная программа «Он сказал: «Поехали!».
12 АПРЕЛЯ 2014 ГОД
ТЕАТРАЛИЗАЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОГО ПОЛЕТА «ОН СКАЗАЛ: «ПОЕХАЛИ!»
В программе принял участие летчик-космонавт, дважды Герой Советского Союза, генерал-майор, Герой Труда Кубани Виктор Васильевич Горбатко.
12 АПРЕЛЯ 2014 ГОД
ТЕАТРАЛИЗАЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОГО ПОЛЕТА «ОН СКАЗАЛ: «ПОЕХАЛИ!»
На сцене происходили события 1961 года, где с исторической достоверностью производился запуск ракеты «Восток», на которой Ю.А. Гагарин совершил свой полет в космос.
12 АПРЕЛЯ 2014 ГОД
ТЕАТРАЛИЗАЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОГО ПОЛЕТА «ОН СКАЗАЛ: «ПОЕХАЛИ!»
Участники мероприятия провожали актера в скафандре, играющего роль Ю.
А. Гагарина, со словами «Поехали!».
Диск Эйлера
Диск Эйлера — увлекательная физическая игрушка. Когда вы даете ему начальное вращение на гладкой поверхности, он начинает вращаться и катиться (раскручиваться) сам по себе.
Действие диска Эйлера похоже на то, что происходит, когда вы вращаете монету на плоской поверхности, но оно длится гораздо дольше!
Посмотрите видео диска Эйлера:
Очень интересно, как с течением времени диск вращается все быстрее и быстрее. Причина этого будет расследована.
Анализ диска Эйлера
Чтобы проанализировать физику диска Эйлера, давайте начнем с рисования схемы (показанной ниже), которая иллюстрирует расползание диска по плоской поверхности.
Где:
w s скорость вращения диска в радианах/секунду
w p скорость прецессии, в радианах/секунду
A — точка контакта между диском и плоской поверхностью
C — точка пересечения оси прецессии с плоской поверхностью
r c — горизонтальное расстояние от оси прецессии до центра масс G диска, как показано.
Предполагается, что центр масс диска совпадает с геометрическим центром диска.
r радиус диска
θ угол между горизонталью и диском
Чтобы как можно проще проанализировать физику диска Эйлера, рассмотрим w s , w p и θ как константа. В действительности эти величины медленно изменяются со временем (например, угол θ медленно уменьшается по мере раскручивания диска). Однако, поскольку скорость изменения этих величин мала, разумно приближать их постоянными.
Дальнейшие упрощающие допущения включают:
• Диск катится по ровной поверхности без проскальзывания
• Диск тонкий относительно своего радиуса
• Диск катится так, что r c = 0. Это приблизительно верно, поскольку θ становится маленьким. Это означает, что диаметр кругового пути, пройденного точкой A (представленной пунктирной линией), приближается к диаметру диска по мере того, как θ становится меньше.
Вы можете убедиться, что это примерно так, посмотрев предыдущее видео, показывающее забивку диска.
Помня об упрощении, давайте перерисуем схему. Диск считается «тонким», поэтому его толщиной можно пренебречь.
Где:
Глобальные оси XYZ определены, как показано, с началом в точке C и закреплены на земле
Локальные оси xyz определены, как показано, с началом в точке G и прикреплены к диску так, что они перемещаются вместе с диском. Обратите внимание, что эта ось совпадает с основными направлениями инерции диска. Также обратите внимание, что локальная ось x параллельна глобальной оси X .
g ускорение свободного падения
w — угловая скорость диска относительно земли.
α — угловое ускорение диска относительно земли.
a — расстояние от точки C до точки A
F AX — сила, действующая на диск в глобальном направлении X , в точке A
Ф AY — сила, действующая на диск в глобальном направлении Y , в точке A
F AZ — сила, действующая на диск в глобальном Z -направлении, в точке A
Наконец, мы определим I , J и K как единичные векторы, указывающие вдоль положительных направлений глобальных осей X , Y и Z соответственно.
Угловая скорость диска относительно земли равна
Угловое ускорение диска относительно земли равно
Глядя на первый член:
Глядя на второй член:
Следовательно, для диска
Обратите внимание, что члены dJ/dt и dK/dt рассчитываются с использованием векторного дифференцирования. Чтобы узнать больше об этом, посетите страницу векторной производной.
Для общего случая проскальзывания между диском и поверхностью скорость точки A (на диске) рассчитывается путем сложения линейной скорости точки A за счет прецессии (a w p ), к линейной скорости точки A за счет вращения диска (r w s ). Эти две линейные скорости действуют в противоположных направлениях, поэтому получается следующее уравнение:
где
Для качения без проскальзывания В А = 0. Поэтому
и
Теперь для r c = 0 имеем
Это выражение удобно связывает w s и w p .
По второму закону Ньютона:
Где:
m масса диска
a GX ускорение точки G в глобальном X -направлении
a GY ускорение точки G в общем направлении Y
a GZ ускорение точки G в глобальном Z -направлении
Если r c = 0, то точка G неподвижна, что означает, что ускорение точки G равно нулю. Глядя на приведенные выше три уравнения, мы видим, что в результате они равны нулю. Это означает, что F AX = 0, F AY = 0 и F AZ = мг .
Затем примените уравнения движения Эйлера для твердого тела, учитывая, что xyz выровнены с главными направлениями инерции диска (рассматриваемого как сплошной диск).
У нас есть,
Сейчас,
Это угловая скорость диска (относительно земли), разрешенная по локальной xyz оси.
Кроме того,
Это угловое ускорение диска (относительно земли), разрешенное по местным осям xyz .
Таким образом, второе и третье уравнения (уравнений Эйлера) равны нулю. Поэтому Σ M Гр = 0 и Σ M Gz = 0. В результате второе и третье уравнения не дают вклада в решение.
Следовательно, нам нужно рассмотреть только первое уравнение:
Где:
Σ M Gx — сумма моментов относительно точки G в локальном направлении x .
I Gx , I Gy , I Gz — главные моменты инерции диска относительно точки G 900 28 о местных x , y и z направлений (соответственно).
По симметрии (рассматривать диск как тонкий круглый диск),
и
Сейчас,
Это сумма моментов в направлении x относительно точки G .
Подставляем это в уравнение (2) и получаем
Теперь замените I Gx , I Gy , I Gz , α x , w y , w z , и уравнение (1) в приведенное выше уравнение. Мы получаем
Таким образом,
Этот информативный результат говорит нам, что поскольку θ → 0, w p уходит в бесконечность. Это согласуется с быстрым увеличением скорости, которое мы наблюдаем в реальном диске Эйлера, когда θ становится маленьким. Причина этого в том, что правая часть уравнения (3) содержит член sin θ , который стремится к нулю при θ → 0. Это означает, что (математически говоря) w p должно увеличиться до большого значения.
Однако приведенная выше формула для w p является идеализированным результатом. На самом деле есть небольшое проскальзывание (трение) в точке A , а также некоторое сопротивление качению.
Это несколько повлияет на решение, если его принять во внимание.
Поскольку диск Эйлера теряет энергию из-за потерь на трение и сопротивление качению, он также теряет гравитационную потенциальную энергию на равную величину. Это означает, что центр масс G диска должен постепенно опускаться по высоте, что вызывает угол θ , чтобы становиться все меньше и меньше (в результате). Это, в свою очередь, приводит к тому, что диск прецессирует все быстрее и быстрее, в соответствии с приведенным выше уравнением. Этот процесс продолжается до тех пор, пока угол θ не станет настолько мал, что контакт с поверхностью станет неизбежным и диск внезапно остановится.
Диск Эйлера лучше всего работает, когда трение и сопротивление качению сведены к минимуму. Это достигается на твердых поверхностях с низким коэффициентом трения, таких как стекло.
Хотя в данной модели не учитывается трение, диск Эйлера не может быть смоделирован как проблема сохранения углового момента.
Это связано с тем, что на диск действует чистый момент (крутящий момент) относительно его центра масс 9.0025 G (из-за силы контакта F AZ между диском и поверхностью в точке A ).
В заключение стоит отметить, что физика диска Эйлера похожа на физику гироскопа. Их анализ на самом деле очень похож.
Вернуться на страницу Прочая физика
Вернуться на домашнюю страницу Real World Physics Problems
сообщить об этом объявлении
Вращающийся диск идет за минуты!
Стальной диск вращается до двух минут.
*Примечание. Информация о продукте, указанная на Vat19, может отличаться от того, что доступно в магазинах, указанных выше.
Вам также может понравиться:
Падение никогда не выглядело так круто, как когда его продемонстрировал Диск Эйлера.
Эта настольная игрушка, названная в честь известного математика Леонарда Эйлера (произносится как «Ойлер»), представляет собой потрясающую демонстрацию нескольких физических концепций.
Одним движением пальцев тяжелый хромированный диск может упасть на две минуты! Это движение известно как прокручивание (сочетание вращения и качения), и оно заставляет диск совершать круговые движения вокруг центра основания, оставаясь в вертикальном положении, как юла.
Когда диск теряет энергию, угол между ним и основанием уменьшается, и появляется интересный жужжащий звук.
Поместите комбинацию прилагаемой намагниченной голографической фольги на верхнюю часть диска, чтобы создать интересные визуальные эффекты. Чтобы получить невероятное световое шоу, выключите свет и добавьте лазерную указку!
Не стесняйся; умные вещи — это весело!
- Размеры (диск): диаметр 3 дюйма x толщина 0,5 дюйма
- Размеры (основание): 9″диаметр x 0,5″ высота
- Материал (диск): хромированная сталь
- Включает 9 кусков намагниченной голографической фольги
- Диск вращается до двух минут
youtube.com/embed/sBM-YMLjMn4?wmode=transparent&rel=0&iv_load_policy=3&iv_load_policy=1&showinfo=0″ frameborder=»0″ allowfullscreen=»»> Нравятся наши видео? Подпишитесь, пожалуйста, на наш канал на YouTube:
Диск Эйлера — удивительно простая, но математически сложная настольная игрушка. Он состоит из вогнутого зеркального основания и тяжелого хромированного диска.
При вращении на изогнутом краю диск демонстрирует парадоксальный эффект. Когда диск теряет энергию, скорость его вращения быстро увеличивается. Благодаря использованию материалов с низким коэффициентом трения диск Эйлера будет вращаться (вращаться и катиться) до двух минут! Когда он в конце концов останавливается, он издает забавный жужжащий звук, частота которого быстро увеличивается.
Диск Эйлера демонстрирует физическое явление, известное как раскручивание.
Диск Эйлера интересно смотреть по нескольким причинам. Поначалу просто завораживает, что объект может так долго крутиться.
Но по мере того, как вращение продолжается (почти бесконечно), голографический дисплей становится завораживающим. А если вы хотите быть в восторге, добавьте фонарик или лазерную указку.
Экспериментируйте с прилагаемой голографической фольгой, чтобы создать множество визуальных эффектов.
Одна кромка хромированного диска тщательно обработана до сверхгладкого радиуса. Это существенно снижает поверхностное трение и значительно увеличивает продолжительность прокрутки до двух минут!
Тяжелый хромированный диск был изготовлен специально для длительного времени вращения.
Диск Эйлера состоит из девяти кусочков голографической фольги. Экспериментируйте с различными комбинациями для создания потрясающих визуальных эффектов.
Превратите вращение в искусство с помощью прилагаемой голографической фольги.
Диск Эйлера может создавать потрясающие световые шоу, если добавить к нему лазерную указку. Выключите свет, наведите указатель на середину базы и вращайте диск.