Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

В физике крутящий момент — это тенденция силы к повороту или скручиванию. Если сила используется, чтобы начать вращать объект или остановить вращение объекта, создается крутящий момент.

Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние от точки опоры рычага, снова умноженная на синус созданного угла, описывается как крутящий момент.Это также известно как «r cross f» или «сила, умноженная на расстояние опоры, умноженное на синус тета».

Точка опоры — это ось вращения или точка опоры, на которой рычаг поворачивается при подъеме или перемещении чего-либо.

Уравнение крутящего момента:

τ = r × F {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \, \!}

, где F — вектор чистой силы, а r — вектор от оси вращения до точки, в которой действует сила.Греческая буква Тау используется для обозначения крутящего момента.

Единицы измерения крутящего момента — это сила, умноженная на расстояние. ^[1] В системе СИ единицей измерения крутящего момента является ньютон-метр. Самая распространенная английская единица — фут-фунт.

1. ↑ Хольцнер, Стивен (2010). Основы физики для чайников . Wiley Publishing. п. 122. ISBN 978-0-470-61841-7 .

Угловое движение — мощность и крутящий момент

Мощность и момент тела при угловом движении

Сила вращающегося тела может быть выражена как

P = T ω

= T 2 π n _{об / с}

= T π n _{об / мин} /30 (1)

где

P = мощность (Вт)

T = крутящий момент или момент (Нм)

= угловая скорость (рад / с)

π = 3.14 …

n _{об / с} = оборотов в секунду (об / с, 1 / с)

n _{об / мин} = оборотов в минуту (об / мин, 1 / мин)

• 1 рад = 360 ^o /2 π = ~ 57,29578 .. ^o

Примечание! — объект, такой как электродвигатель, может иметь активный момент без вращения, но без вращения ( ω = 0 ) не вырабатывается энергия.

В имперских единицах

P = T n _{об / мин} /5252 (1b)

где

P = мощность (л.с.)

T = крутящий момент (фут-фунт _f )

Пример — момент, создаваемый вращающимся двигателем

Электродвигатель работает со скоростью 3600 об / мин с измеренной потребляемой мощностью 2000 Вт .Момент, создаваемый двигателем (без потерь), можно рассчитать, переставив (1) на

T = 30 P / (π n _{об / мин} )

= 30 (2000 Вт) / (π ( 3600 об / мин))

= 5,3 Нм

Калькулятор моментов

P — мощность (Вт)

n _м — обороты (об / мин)

Крутящий момент тела в угловом движении

T = I α (2)

где

I = момент инерции (кг · м ² , фунт _f фут · с ² )

α = угловое ускорение (рад / с ² )

Расчет момента прокатки

Как видно из уравнения (13.1), на каждый валок действует половина момента прокатки — произведение силы прокатки на её плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения валка до линии действия этой силы). Чтобы найти плечо силы прокатки, надо знать её направление.

При простом процессе прокатки направление силы прокатки Р можно определить из уравнения равновесия полосы в очаге деформации (см. рис. 13.1):

, (13.6)

где Х_i– проекции всех сил, действующих на полосу.

При простом процессе прокатки на полосу действуют силы только со стороны валков в очаге деформации, другие внешние силы (натяжений, подпора) отсутствуют.

Если предположить, что сила R, действующая со стороны каждого валка на полосу (равнодействующая сил прокатки и трения), отклонена от вертикали на угол , то уравнение (13.6) примет вид:

_, (13.7)

где R_x– проекция на ось х силы R.

Поскольку сила R заведомо не равна нулю, из выражения (13.7) следует, что sin =0, что возможно только в случае, когда угол =0.

Отсюда следует, что при простом процессе прокатки равнодействующая всех сил, действующих в контакте полосы и валка, направлена вертикально. Но эта равнодействующая и является силой прокатки Р (см. главу 11). Таким образом, можно сделать окончательный вывод: если на полосу не действуют другие силы, кроме сил со стороны валков в очаге деформации, то сила, действующая между каждым валком и полосой, направлена перпендикулярно оси прокатки и равна силе прокатки.

Необходимо сделать одну оговорку: этот вывод можно распространить на следующий частный случай отступления от простого процесса прокатки: если к полосе приложены силы переднего и заднего натяжения, равные по величине, то в уравнении равновесия полосы (13.6) эти силы сократятся, т.е. уравнение (13.7) останется в силе и угол  попрежнему будет равен нулю.

Поэтому, силы прокатки останутся вертикальными (перпендикулярными оси х), если на полосу действуют вдоль оси х силы переднего и заднего натяжения, равные по величине.

Установив направление сил Р, можно определить момент прокатки по формуле (см. рис.13.1):

, (13.8)

где а – плечо силы прокатки относительно оси вращения валка (кратчайшее расстояние от этой оси до линии действия силы).

В формуле (13.8) учитываются силы Р, которые действуют со стороны полосы на каждый валок. Они, согласно 3-ему закону Ньютона, равны по величине силам, действующим со стороны каждого валка на полосу, но противоположно направлены.

Чтобы использовать формулу (13.8) в практических расчетах, надо знать величину а, определяющую координату точки х по оси прокатки, в которой действует сила Р (т.е. точку приложения на дуге контакта полосы и валка равнодействующей всех сил, вызванных контактными напряжениями).

В большинстве известных методик, разработанных в 20 веке, для расчета величины а рекомендуется следующая эмпирическая формула [13.1…13.5]:

, (13.9)

где l – длина очага деформации (см. рис. 13.1),  — эмпирический коэффициент, называемый коэффициентом плеча силы прокатки.

В указанных литературных источниках приводятся многочисленные эмпирические выражения или числовые значения этого коэффициента, согласно которым, он может изменяться в широком диапазоне:  = 0,35…0,5. Поэтому использование формулы (13.9) вносит существенную погрешность в расчет момента и мощности главного привода рабочей клети, достигающую 30-40% и более от фактических значений.

В современных условиях, когда задачи повышения энергоэффективности и экономии энергии в металлургическом производстве приобрели большую актуальность, требуется более точный метод расчета плеча силы прокатки, не использующий эмпирический коэффициент .

Такой метод разработан и опубликован в работах [13.6…13.8].

Сущность его в том, что сначала определяют мощность прокатки в i—й клети N_прiпо методике, изложенной в разделе 12 данного учебника, а затем, используют связь между моментом и мощностью прокатки:

, (13.10)

М_прi– момент прокатки вi—й клети, — угловая скорость прокатных (рабочих) валков i—й клети, n_pi – число оборотов этих валков в минуту.

Подставив в (13.10) выражение М_прiпо формуле (13.8), получают искомую величину плеча силы прокатки:

, (13.11)

Формула (13.11) не содержит эмпирических коэффициентов, а входящие в нее величины N_прi и P_i, вычисляемые по методикам, изложенным в разделах 11 и 12, имеют наименьшие погрешности, по сравнению с другими известными методиками.

При их расчете не используются никакие эмпирические величины, кроме общепринятых: коэффициента трения в очаге деформации и сопротивления деформации прокатываемого металла.

Вычислив величину а по формуле (13.11), легко найти угол , определяющий точку приложения силы прокатки на дуге захвата (см. рис. 13.1):

, (13.12)

где D – диаметр бочки прокатного валка.

Определение момента сопротивления — Доктор Лом

Когда мы определяли момент сопротивления для поперечного сечения балки из однородного материала, обладающего изотропными свойствами, то вывели следующие расчетные формулы:

W ≥ М / R (149:4.8)

где М — максимальный изгибающий момент, определяемый по эпюре моментов. На действие максимального момента и рассчитывается поперечное сечение,

R — расчетное сопротивление, определяемое по разного рода справочникам, впрочем при сильном желании приблизительно определить расчетное сопротивление можно и самому, обычно расчетное сопротивление находится близко к пределу упругости. Т.е. предполагается работа материала в области упругих (восстанавливаемых со временем) деформаций.

W — момент сопротивления. Для прямоугольного сечения:

W_z = b · h² / 6 (149:4.6)

где b — ширина балки, h — высота балки.

Однако строительные конструкции далеко не всегда имеют прямоугольную форму, простую геометрическую форму или форму прокатного профиля, моменты сопротивления для которых давно рассчитаны другими. Кроме того материал, из которого сделана конструкция, может обладать разными расчетными сопротивлениями при сжатии и при растяжении, например, бетон или железобетон, и далеко не всегда материал является изотропным при действии нормальных и касательных напряжений, например, древесина. Поэтому при решении различных задач по расчету строительных конструкций иногда приходится определять момент инерции для поперечного сечения самому. Рассмотрим наиболее распространенные случаи, когда это требуется:

1. Момент сопротивления для прямоугольного сечения анизотропного материала.

Для определения параметров прямоугольного сечения анизотропных материалов, таких как бетон, железобетон, других композитных материалов с различными расчетными сопротивлениями на растяжение и сжатие, момент сопротивления следует определять отдельно для сжимаемой и для растягиваемой зоны или производить расчеты для приведенного сечения. Пока рассмотрим, что получается, при определении параметров отдельно для сжимаемой и для растягиваемой зоны. Из общего уравнения (149:4.8) мы можем простейшим математическим действием, каковым является умножение, вывести следующее уравнение:

M = WR (1.1)

Это общее уравнение, безусловно справедливое для прямоугольного сечения изотропного материала, его еще можно записать следующим образом:

M = (W_с + W_р) R / 2  (1.2)

или

М = (W_сR_с + W_рR_р) / 2 (1.3)

где нижние индексы _с и _р — условные обозначения для сжатия и растяжения.

при W_с = W_р = W_z и при R_с = R_р уравнения (1.2) или (1.3) сводятся к (1.1). А на 2 мы делим уравнения потому, что моменты сопротивления определяются для всего сечения, а не для сжимаемой или растягиваемой части. Впрочем, этой двойке можно дать и другое толкование.

Согласно теории сопротивления материалов нормальные сжимающие и растягивающие напряжения распределяются по высоте балки не равномерно. При определенном действии изгибающего момента максимальные сжимающие напряжения возникают в верхнем слое поперечного сечения (на рисунке 1 обозначены синим цветом), а максимальные растягивающие напряжения — в нижнем слое поперечного сечения (на рисунке 1 обозначены красным цветом), а в центральной части — на оси z, проходящей через центр тяжести сечения, нормальные напряжения равны 0:

Рисунок 1. Эпюра нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении при действии изгибающего момента.

С точки зрения строительной механики для упрощения расчетов вполне допустимо заменить распределенную нагрузку, каковой в данном случае является эпюра нормальных напряжений, сосредоточенными силами, равнодействующими для каждой части эпюры:

Рисунок 2. Замена распределенной нагрузки сосредоточенной нагрузкой.

В данном случае сосредоточенные силы можно рассматривать как расчетные сопротивления R, приложенные ко всей площади сечения сжатой или растянутой зоны с плечом h/3, а так как равнодействующая сила от равномерно изменяющейся нагрузки, в данном случае нормальных напряжений σ, будет равна половине нагрузки, умноженной на длину приложения нагрузки, то мы можем рассматривать значения R_с/2 и R_р/2, чтобы соблюдалось условие σ ≤ R.

Вне зависимости от того, каким является материал, можно допустить, что конструкция из этого материала будет работать нормально, если соблюдается следующее условие:

W_сR_с = W_рR_р = М (1.4)

Если считать, что распределение внутренних нормальных напряжений всегда происходит относительно центра тяжести сечения, так как показано на рисунке 1, то расчет параметров сечения следует производить по наименьшему расчетному сопротивлению. Но если мы допустим, что центр тяжести сечения может смещаться, то для анизотропного материала, например бетона, для которого сопротивление сжатию приблизительно в 10 раз больше сопротивления растяжению, эпюра предельных нормальных напряжений может выглядеть следующим образом:

Рисунок 3. Эпюра нормальных напряжений и приведенные сосредоточенные нагрузки для приведенного сечения.

При этом центр тяжести приведенного сечения сместится и будет находиться на оси z’. Поэтому значения моментов сопротивления будут:

W_с = 2by² / 3 (1.5.1)

W_р = 2b(h -y)² / 3 (1.5.2)

Примечание: так как мы рассматриваем не просто верхнюю сжатую или нижнюю растянутую часть сечения, а условно сжатое сечение и условно растянутое сечение, то правые части уравнений (1.5.1) и (1.5.2) следует умножить на 2, чтобы учесть и верхнюю и нижнюю часть условного сечения, а затем разделить на 2, чтобы учесть, что напряжения по высоте полусечения изменяются от максимума до 0. Впрочем, на конечном результате это никак не отразится.

Подставляя эти значения в уравнение (1.4), получим:

2R_cby² / 3 = 2R_pb(h -y)² / 3 (1.6)

(h -y) / y = √R_c / R_p (1.7)

таким образом соотношение высоты сжатой у и растянутой зоны (h -y) для материала с анизотропными свойствами зависит от соотношения расчетных сопротивлений в степени 1/2.

Решая дальше уравнение (1.7), мы получим значение

у = h / (√R_c / R_p +1) (1.8.1)

или

h = y (√R_c / R_p +1) (1.8.2)

В принципе эту формулу можно использовать и для изотропного материала, у которого расчетные сопротивления растяжению и сжатию равны. В этом случае мы получим у = h / (√‾1 +1) = h / 2.

Определить значение у, можно и другим способом, если мы не знаем значение высоты элемента (да и откуда нам его знать, если как правило мы должны определить высоту в результате расчетов), но знаем значение максимального изгибающего момента. Согласно формул (1.4) и (1.5.1)

W_с = 2by²/3 = М/R_с (1.9)

тогда

у = √3М /2bR_с (1.10)

Теперь, чтобы эти формулы не остались абстрактными измышлениями, применим их на практике:

Пример расчета бетонного элемента прямоугольной формы на действие изгибающего момента.

На бетонную плиту перекрытия с расчетной шириной b = 100 см будет действовать изгибающий момент М = 180000 кг·см (от нагрузки 900 кг/м при пролете шарнирно опертой плиты l = 4 м). Для изготовления плиты будет использован бетон класса В20 с расчетным сопротивлением сжатию R_b = 117 кг/см² и расчетным сопротивлением растяжению R_bt = 9.2 кг/см². Требуется определить высоту сжатой и растягиваемой зоны. Согласно полученных нами формул

у = √(3·180000 /2·100·117 = 4.8038 см

h = 4.8038·(√117/9.2 + 1) = 21.9348 см или 22 см.

Как видим расчет в данном случае достаточно прост и нагляден. Единственное, что нас может в данном случае беспокоить, это то, что нагрузка на плиту от собственного веса будет составлять до 550 кг/м, т.е. почти две трети от расчетной нагрузки. И кроме того приведенный центр тяжести сечения так сильно не может смещаться относительно центра тяжести без дополнительного перераспределения напряжений, ведь мы все-таки рассматриваем балку из одного материала и значит высота балки должна быть как минимум (21.93 — 4.8)2 = 34.3 см. Для того, чтобы увеличить эффективность использования бетона люди и придумали вставлять в бетон арматуру.

2. Момент сопротивления для приведенного сечения анизотропного материала.

Теперь рассмотрим полученные результаты с точки зрения классического изложения понятий о моменте сопротивления. Такое изложение носит достаточно абстрактный характер при отсутствии у студентов понимания, зачем этот самый момент сопротивления нужен. Поэтому я сначала показал практическое применение момента сопротивления, а теперь можно уже переходить к теоретической части. Итак:

Что такое момент сопротивления и откуда взялся этот термин? Каждое тело, даже элементарно малое, имеет определенную массу, геометрические и прочностные характеристики, т.е. обязательно имеет центр тяжести и сопротивляется растяжению или сжатию. Эти прочностные характеристики называются сопротивлением материала сжатию или растяжению. Значение сопротивления зависит от физических свойств тела и пока нами не рассматривается. На данном этапе достаточно знать, что сталь намного прочнее бумаги, а на сколько прочнее — дают ответ различные справочники.

Центр тяжести тела — это точка, относительно которой сумма сил тяжести, действующих на элементарно малые части рассматриваемого тела будет = 0

Причем нахождением центра тяжести мы занимались еще в школе на уроках физики, не имея ни малейшего представления о теории сопротивления материалов, потому как центр тяжести — это понятие общее для всех разделов физики. Для этого мы брали деревянную линейку и пытались опереть линейку на кончик шариковой ручки так, чтобы линейка не падала, т.е. чтобы ни одна из частей линейки не перевешивала другую. Таким образом мы искали центр тяжести сечения с шириной, равной ширине линейки, и высотой, равной длине линейки, при этом одни опирали линейку на пересечение диагоналей линейки, другие на пересечение высоты и ширины, проведенных посредине прямоугольника. Однако толку от этого было мало, так как шарик ручки имеет очень малую площадь, стремящуюся к нулю, то центр тяжести линейки из-за анизотропности материала линейки редко приходился на пересечение указанных линий и потому не попадал на подставленный шарик и линейка почти всегда падала. Чтобы решить задачу в поставленном виде, пришлось бы провести большое количество вычислений, и все равно возможная погрешность в результатах свела бы эти расчеты к нулю. А если немного изменить условие задачи и опереть линейку на палец в точке предполагаемого центра тяжести, то есть изменить площадь опирания линейки так, чтобы центр тяжести линейки попадал в эту площадь опирания, то линейка достаточно надежно будет держаться на пальце. В данном случае смена опор — это пример того, как можно значительно упростить решение задачи, немного изменив условия. И хотя я являюсь неизменным сторонником простых способов решения задач, без понятия о центре тяжести сечения нам все же не обойтись.

Кстати еще одним способом упрощения решения задачи является рассмотрение не всего тела, а только одного его сечения, таким образом трехмерность окружающего нас объемного мира с его сложностями и неопределенностями заменяется двухмерностью плоскости (плоской фигуры), также имеющей неопределенности, но как минимум на одну меньше. Так как все физические тела имеют некую плотность (которая может обозначаться также как удельный или объемный вес, то для определения массы тела обычно умножают плотность тела на объем тела, который в свою очередь характеризуется такими параметрами как длина ширина и высота. Если рассматривать не все тело, а только некоторое сечение, очень-очень тонкое, т.е имеющее бесконечно малую длину (если вы видели слайсер, а тем более им пользовались, то приблизительно понимаете, что это означает), и постоянную плотность, то с математической точки зрения вполне корректным будет предположение, что

центр тяжести сечения — это точка, относительно которой сумма элементарных площадей сечения, умноженных на расстояния от центра тяжести элементарного сечения до центра тяжести, будет = 0:

Рисунок 4. Центр тяжести условного сечения, имеющего площадь F.

На рисунке 4 показано некое условное сечение, имеющее площадь F. При этом площадь F — это сумма элементарных площадей dF (одна из этих площадей для наглядности выделена зеленым цветом):

F = ∑dF (2.1.1)

Если есть очень много свободного времени, то никто не запрещает измерить расстояния r от каждой элементарной площади dF до центра тяжести O сечения F. А затем полученные значения перемножить и сложить, проверив соблюдается ли условие. Однако знания математики позволяют сделать это намного быстрее и проще:

∑r_idF_i = ∫rdF = 0 (2.1.2)

Из этого, казалось бы не сложного уравнения следует очень много выводов, например:

1. Если центр тяжести сечения является единственной достаточной точкой опоры для того, чтобы сечение оставалось в статическом состоянии, т.е в состоянии равновесия, то точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр тяжести сечения, также будут надежной опорой для сечения. Причем таких прямых можно провести бесконечно много. Однако нам много не надо, нам достаточно для начала хотя бы двух перпендикулярных прямых. А еще эти прямые можно считать осями координат и тогда задача еще более упростится, так как использование прямоугольной системы координат нам более привычно, чем радиальной. Обычно для определения параметров сечения используются оси х и у. Однако в данном случае мы имеем дело со строительной механикой и теорией сопротивления материалов. Строительная механика решает множество задач, в которых очень важное значение имеет длина конструкции при этом решение сводится к определению внутренних напряжений в различных поперечных сечениях, расположенных на расстоянии х от начала конструкции, т.е. от начала координат, поэтому более корректным мне кажется использование осей у и z для поперечных сечений:

Рисунок 5. Центр тяжести сечения, являющийся началом координат

2. В этом случае справедливыми будут следующие утверждения:

∑z_idF_i = ∫zdF = 0 = Sy (2.1.3)

∑y_idF_i = ∫ydF = 0 = S_z (2.1.4)

где S_z и S_y — статические моменты сечения относительно главных осей. В данном случае статические моменты сечения равны нулю, это означает, что сечение находится в состоянии статического равновесия. Проверить это теоретическое положение достаточно просто, воспользовавшись все той же линейкой. Если опирать линейку не на кончик пальца, а на весь максимально выровненный палец, символизирующий прямую или ось, то если ось пальца условно говоря проходит через центр тяжести линейки, то линейка не упадет. Причем таких положений линейки может быть достаточно много, достаточно вращать линейку относительно центра тяжести на вытянутом пальце, чтобы в этом убедиться.

Однако оси координат далеко не всегда проходят через центр тяжести сечения и в этих случаях статические моменты относительно главных осей не равны нулю, проще говоря линейка, если линия опоры не проходит через центр тяжести, обязательно упадет, при этом чем дальше будет линия опоры (ось координат) тем большая сила потребуется, чтобы остановить это падение. Вот эту самую силу и ее направление некоторым образом и характеризуют статические моменты. Если известна площадь сечения и положение центра тяжести сечения, при этом оси координат через центр тяжести сечения не проходят, то статические моменты будут равны:

S_у = ∫zdF = Fz_c (2.1.5)

S_z = ∫ydF = Fy_c(2.1.6)

3. Статические моменты сечения или как их иногда называют, статические моменты площади, благодаря описанным выше свойствам, позволяют определить центр тяжести сечения любой геометрической сложности. Для этого сначала задается система координат с началом в произвольной точке, затем сложное сечение разбивается на простые, для которых определить центр тяжести достаточно легко, а после этого из преобразованных формул (2.1.5) и (2.1.6) определяется расстояние от центра тяжести сечения до начала координат:

z_c = S_y/F = (F₁z₁ + F₂z₂ +F₃z₃)/(F₁+F₂ +F₃) (2.1.7)

y_c = S_z/F = (F₁y₁ + F₂y₂ +F₃y₃)/(F₁+F₂ +F₃) (2.1.8)

Рисунок 6. Определение центра тяжести сложного сечения при известных площадях и центрах тяжести простых сечений.

Но не будем слишком долго задерживаться на полезных свойствах статических моментов, ведь в данном случае нас интересует немного другой момент, а именно момент сопротивления. И статический момент и момент сопротивления измеряются в см³, но разница между ними есть и разница существенная. Если коротко охарактеризовать разницу между статическим моментом и моментом сопротивления, то статический момент позволяет определить, где находится центр тяжести площади, который и является точкой приложения сосредоточенной нагрузки — массы тела, а момент сопротивления позволяет определить, где находится точка приложения сосредоточенной нагрузки — нормальных сжимающих или растягивающих напряжений, возникающих в поперечном сечении. Другими словами, масса — это равномерно распределенная нагрузка, представляемая на эпюрах прямоугольниками, а нормальные напряжения — это равномерно изменяющаяся нагрузка от 0 в центре тяжести сечения до максимального значения в максимально удаленной точке сечения, представляемая на эпюрах треугольниками (рис. 1). Ну а теперь более подробно:

Одним из предметов исследования теории сопротивления материалов является поперечное сечение тела, часто перпендикулярное оси х, в котором возникают растягивающие и сжимающие напряжения. Основой расчета является принцип равновесия сил, обеспечивающий равновесие тела или, другими словами, геометрическую неизменяемость системы (статическое равновесие). Когда мы опирали линейку на шарик ручки или на палец, мы таким образом приводили систему сил в равновесие. Когда мы пытались опереть деревянную линейку на шарик ручки в центре тяжести, то мы тем самым пытались передать линейке в этой точке сосредоточенную нагрузку, численно равную распределенной нагрузке — весу линейки. Эта сосредоточенная нагрузка, является с одной стороны опорной реакцией, обеспечивающей равновесие сил, а с другой стороны, если свести площадь опирания к максимально возможному минимуму, т.е. использовать в качестве опоры острую иголку, то при достаточно большом весе линейки иголка ее проколет. Произойдет это потому, что мы преодолеем предел прочности линейки. Т.е. сопротивление сжатию материала будет меньше приложенной сосредоточенной нагрузки. Сопротивление материала сжатию или растяжению измеряется в Н/м² или кгс/см² и таким образом показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к указанной площади сечения. Поэтому когда мы уменьшаем площадь сечения опоры, мы тем самым увеличиваем нагрузку в месте ее воздействия. Таким образом при расчете параметров сечения, к которому нагрузка приложена в центре тяжести, достаточно знать расчетное сопротивление материала, чтобы определить требуемую площадь сечения:

F = N / R (2.2)

Эту площадь можно называть площадью сопротивления.

Примечание: Обозначений для площади существует несколько: S, F, A. Если обозначать площадь литерой S, то будут возникать аллюзии со статическим моментом или с энтропией; если А, то с амплитудой, работой и даже с ангстемом; если F, то с силой, а еще с прогибом. Дело в том, что для обозначения различных величин, открытых и применяемых в последние годы человечеством не хватает букв не только латинского, но и греческого алфавита, а общие тенденции развития науки говорят о том, что единственным спасением в этом деле смогут стать только иероглифы. Так как по ходу дела мы уже столкнулись со статическими моментами, то примем обозначение для площади F.

Однако нагрузка в поперечном сечении далеко не всегда прикладывается к центру тяжести сечения. Таким образом появляется плечо действия силы или пары сил и значит в рассматриваемом поперечном сечении может действовать не только сила, но и изгибающий момент, а при чистом изгибе только изгибающий момент. В ответ на это в материале возникает другой момент, направленный противоположно, и, исходя из условий равновесия, равный изгибающему моменту. А значит плечо действия ответного момента равно плечу действующего момента и тогда ответный момент логично названный «моментом сопротивления» равен равнодействующей нормальных напряжений, умноженной на плечо действия силы, в данном случае сопротивления материала (или пары сил, создающих момент относительно центра тяжести). Что и приводит нас к формуле (149:4.3). Даже графически обозначение момента сопротивления W является как бы зеркальным отражением изгибающего момента M. Это особенно заметно по следующей формуле:

 (2.2.2)

Анизотропный материал можно рассматривать как множество соединенных между собой тел. При этом каждое тело может обладать своими геометрическими и прочностными характеристиками. Таким образом каждое такое тело может рассматриваться как самостоятельное, однако при этом необходимо учитывать расстояние от центра тяжести данного тела до центра тяжести общего сечения:

W_{сечения тела} + F_{сечения} · плечо (расстояние от центра тяжести рассматриваемого сечения до общего центра тяжести) (2.3)

Далее, используя интегрирование, мы можем определить момент сопротивления для сечения практически любой геометрической формы и удаленного от общего центра тяжести на любые расстояния. В данном случае у нас нет необходимости это делать. Как говорил один известный персонаж: «ничего воровать не надо, все уже украдено до нас». Поэтому при расчетах простых геометрических сечений мы можем пользоваться готовыми формулами. Но для наглядности приведу один пример, задача для элементарного прямоугольного сечения, входящего в состав общего сечения так, что общий центр тяжести находится на нижней грани элементарного сечения, решается так (эту задачу мы доступными нам на тот момент средствами решали в п.1 — формула (1.5.1)):

W_c = W_{прямоугольника} + F_{прямоугольника} · плечо (половина высоты) = bh²/6 + bh·h/2 = 2bh² / 3 (2.3.1)

Как видим, окончательный результат остался таким же.

Теперь вооруженные полученными знаниями, мы можем решать более сложные задачи, например попробовать определить момент сопротивления для железобетонной конструкции и вскоре узнаем, что произойдет, если в нижнюю растягиваемую зону поперечного сечения плиты, рассматриваемой в качестве примера в п.1, добавить стальную арматуру.

Бетон, при добавлении в него арматуры становится еще более анизотропным материалом, и оттого расчет железобетонной конструкции становится еще более веселым. Для начала: в растягиваемой зоне поперечного сечения устанавливается арматура, имеющая приблизительно в 100 раз большее расчетное сопротивление растяжению, чем бетон. К тому же арматура устанавливается как можно ближе к низу сечения, это позволяет использовать прочностные свойства арматуры почти по максимуму. Ставить арматуру в самом низу сечения не позволяют конструктивные соображения. Дело в том, что для того, чтобы рассматривать арматуру, как часть общего сечения, арматура должна быть как следует обжата бетоном, для этого в частности на арматуре делаются ребра. Арматура считается достаточно обжатой, когда расстояние от низа сечения арматуры до низа сечения конструкции составляет не менее диаметра арматуры или не менее 10 мм. А еще бетон под арматурой защищает арматуру от атмосферных воздействий, проще говоря, не дает арматуре ржаветь и таким образом препятствует уменьшению расчетного сечения арматуры. Для упрощения расчетов железобетонных конструкций используется величина а — расстояние от центра тяжести арматуры до низа сечения конструкции. Принимается эта величина так, чтобы соблюдалось приведенное выше условие. Соответственно высота поперечного сечения теряет актуальность и в расчетах больше используется другая величина h₀ = h — a.

Пример расчета железобетонного элемента на действие изгибающего момента.

При расчете железобетонных конструкций можно пользоваться следующими расчетными предпосылками:

1. Так как арматура, устанавливаемая в растягиваемой зоне бетона, имеет намного большее сопротивление растяжению, чем бетон, то сопротивление бетона растяжению для упрощения расчетов можно не учитывать. Таким образом мы повышаем прочность конструкции на 0.3-1%

2. Обычно моментом сопротивления арматуры относительно собственного центра тяжести, как относительно малой величиной по сравнению с моментом сопротивления относительно общего центра тяжести, для упрощения расчетов пренебрегают, тогда момент сопротивления арматуры будет составлять:

W_p = 2F_a(h₀ — y) = M/R_a (2.4)

Примечание: В данном случае мы также рассматриваем не просто растянутую часть поперечного сечения, а некое условное сечение, в котором и в верхней и в нижней части действуют растягивающие напряжения, поэтому для определения момента сопротивления правую часть уравнения нужно умножить на 2. А так как диаметр арматуры мал по сравнению с расстоянием от центра тяжести арматуры до центра тяжести сечения, то мы можем допустить, что растягивающие напряжения, возникающие в арматуры постоянны по высоте сечения арматуры и максимальны, а это означает, что делить правую часть уравнения на 2, как при определении момента сопротивления сжатой части, не нужно.

3. При использовании арматуры класса А400 с расчетным сопротивлением растяжению R_р, в последнее время все чаще обозначаемым как R_s = 3600 кг/см² (но я далее буду придерживаться обозначения R_a, чтобы было понятно, что это арматура):

W_рR_а = М (2.5)

тогда

2F_a(h₀ — y) = М/R_а (2.6)

F_a = М/2(R_а(h₀ — y)) (2.7)

Если продолжать рассматривать работу конструкции в области упругих деформаций, то для бетона, работающего в сжатой области, значение у можно принимать такое же как и в п.1, и тогда мы можем подобрать сечение арматуры при заданной высоте сечения, например при h = 10 см, а = 2 см, h₀ = 8 см.

F_a = 180000 /2(3600(8 — 4.8038)) = 7.82 см²

Для армирования плиты перекрытия достаточно 5 стержней диаметром 16 мм, имеющих суммарную площадь F = 10.05 см².

Такой расчет называется расчетом по допускаемым напряжениям, предполагает упругую модель деформации тела и в настоящее время для расчета железобетонных конструкций не используется.

В настоящее время расчет выполняется по предельным состояниям, учитывающим пластическую работу материала и основанным в частности на результатах многочисленных испытаний железобетонных конструкций. При расчете по многократно проверенным и принятым в ранее и ныне действующих СНиПах и сводах правил способам необходимое сечение арматуры для такой плиты перекрытия будет составлять около 7.27 см², т.е. немного меньше полученного нами результата (но зато позволяет принять для армирования стержни меньшего диаметра, что при больших объемах строительства может дать ощутимую экономию).

Устранить эту разницу можно, принимая основные положения расчета ж/б конструкций по предельным состояниям, т.е. допуская в сжатой зоне бетона образование пластического шарнира, и возникающее при этом перераспределение напряжений и соответственно уменьшение высоты сжатой зоны бетона. Однако я не советую делать это при расчетах конструкций частного малоэтажного строительства. Дело в том, что все равно потребуется расчет по деформациям, а как показывает практика, для шарнирно опертых балок деформации превышают допустимые. К тому же высота защитного слоя является недопустимой при таком диаметре арматуры и по хорошему плиту нужно пересчитывать на h_o = 7 см, или увеличить высоту плиты, но пока этого делать не будем.

Пример приближенного расчета прогиба железобетонной плиты (расчет по предельным состояниям второй группы)

Одним из главных достоинств вышеизложенной методики расчета является то, что зная фактическую высоту сжатой зоны бетона, мы можем приблизительно, повторяю — приблизительно, т.е. без учета особенностей работы бетона и арматуры — но довольно быстро определить прогиб конструкции. При точном расчете необходимо рассчитывать отдельно участки конструкции без трещин и участки с раскрытыми трещинами, но как показывает практика, даже такой расчет не всегда точен. В данном случае мы проведем приближенный, так называемый оценочный расчет. Основан такой расчет на следующих предпосылках:

1. Так как у нас нет армирования в верхней части плиты, то на сжатие будет работать только бетон и в результате этого сжатия плита деформируется.

2. В нижней части плиты на растяжение работает только арматура. В результате деформации арматуры плита также прогнется.

3. В идеале величина прогиба от деформации сжимаемого бетона и от деформации растягиваемой арматуры должна быть одинаковой.

4. Если величина прогиба будет неодинаковой, то по полученным значениям отдельно для бетона и отдельно для арматуры можно определить некоторое среднее значение прогиба, которое будет приблизительно соответствовать реальному прогибу железобетонной конструкции.

5. Если величина прогиба в результате растяжения арматуры будет больше, чем при сжатии бетона, то допустимо уменьшить высоту сжатой зоны бетона. Это будет означать образование пластического шарнира в сжатой зоне бетона. При этом высота сжатой зоны бетона не может быть уменьшена больше, чем в 1.5 раза, в противном случае высота пластического шарнира станет критической и это может привести к обрушению конструкции. Уменьшать высоту растянутой зоны недопустимо, так как это может привести к обрушению конструкции.

Данные предпосылки позволяют использовать для расчетов стандартные формулы строительной механики для любых вариантов загружения балок. В данном случае мы рассчитывали плиту перекрытия как балку с шарнирными опорами и равномерно распределенной нагрузкой. Для такой балки прогиб поперечного сечения посредине балки составит:

f = 5ql⁴/(384EI) (174.6.4.4)

для бетона Е_b = 275000 кгс/см² (27500 МПа) — начальный модуль упругости бетона класса В20.

I_b = W_c·y = 2·100·4.8³/3 = 7372,8 см⁴ или b(2y)³/12 = 100(2·4.8)³/12 = 7372.8 см⁴ — момент инерции условного приведенного сечения, тогда

f_b = 5·9·400⁴ /384·275000·7372.8 = 1.45 см.

Проверим возможный прогиб от растяжения арматуры.

модуль упругости арматуры Е_a = 2000000 кгс/см², (2·10⁵МПа),

условный момент инерции арматуры I_a = 10.05·2·3.2² = 205.8 см⁴, тогда

f_a = 5·9·400⁴ / 384·2000000·160.8 = 7.9 см

Очевидно, что разным прогиб быть не может, а значит в результате деформации и выравнивания напряжений в сжатой зоне высота сжатой зоны будет уменьшаться. Подробности определения высоты сжатой зоны здесь (из-за недостатка места) не приводятся, при y ≈ 3.5 см прогиб составит примерно 3.2 см. Однако реальный прогиб будет другим, во-первых потому, что мы не учли деформацию бетона при растяжении (потому этот метод и является приблизительным), во вторых, при уменьшении высоты сжатой зоны в бетоне будут нарастать пластические деформации, увеличивающие общий прогиб. А кроме того при длительном приложении нагрузок развитие пластических деформаций также приводит к снижению начального модуля упругости. Определение этих величин — отдельная тема.

Так для бетона класса В20 при длительно действующей нагрузке модуль упругости может уменьшиться в 3.8 раза (при влажности 40-75%). Соответственно прогиб от сжатия бетона составит уже 1.45·3.8 = 5.51 см. И тут даже двойное увеличение сечения арматуры в растянутой зоне сильно не поможет — необходимо увеличивать высоту балки.

Но даже если не учитывать длительность действия нагрузки, то все равно 3.2 см  — это достаточно большой прогиб. Согласно СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия» максимальный допустимый по конструктивным соображениям прогиб для плит перекрытия (чтобы стяжка не растрескивалась и т.п.) составит l/150 = 400/150 = 2.67 см. А так как и толщина защитного слоя бетона по-прежнему остается недопустимой, то из конструктивных соображений высоту плиты следует увеличить хотя бо до 11 см. Впрочем к определению момента сопротивления это никак не относится.

: определение, уравнение и формула — видео и стенограмма урока

Physics of Torque

Чтобы найти линейную силу, нам нужно знать массу и ускорение. Однако крутящий момент немного отличается из-за вращения. Подумайте об открытии двери. Где вы нажимаете на нее, когда хотите, чтобы она открылась? Вы нажимаете на ту сторону двери, где нет петель, потому что нажатие на сторону с петлями затруднит ее открытие. Итак, для крутящего момента нам нужно знать не только массу и ускорение линейной силы, но также и то, как далеко эта сила от оси вращения, поскольку мы также можем получить разные результаты в зависимости от этого.Мы можем видеть это на диаграмме и в уравнении для крутящего момента.

T = F * r * sin ( theta )

T = крутящий момент

F = линейное усилие

r = расстояние, измеренное от оси вращения к месту приложения линейной силы

theta = угол между F и r

В нашем уравнении sin ( theta ) не имеет единиц измерения, r имеет единицы измерения (м ), а F имеет единицы измерения в Ньютонах (Н).Объединяя их вместе, мы видим, что единицей крутящего момента является Ньютон-метр (Нм).

Наконец, тета необходима для учета направления приложения линейной силы. Силу не всегда толкают прямо, как дверь. Это может происходить с разных сторон.

Равновесие вращения

Итак, мы увидели, как один крутящий момент может воздействовать на объект, но вы можете легко применить более одного крутящего момента одновременно. Вернемся к автомобильному двигателю.В каждом автомобиле есть более одного поршня, прикладывающего крутящий момент к коленчатому валу. В этом случае есть общий крутящий момент, который является суммой каждого отдельного крутящего момента.

Всего T = T {1} + T {2} + … + T {n}

В этом уравнении n — это общее количество крутящих моментов, прилагаемых к объект. Существует также особый случай этого, называемый вращательным равновесием . Здесь сложение всех крутящих моментов, действующих на объект, равно нулю.Когда это происходит, это может означать, что на объект не действует крутящий момент или все крутящие моменты, действующие на объект, компенсируют друг друга. Чтобы визуализировать взаимно компенсирующиеся крутящие моменты, давайте рассмотрим простой случай с двумя крутящими моментами: качели.

В верхней части изображения двое детей сидят на качелях, которые не двигаются. Они уравновешены на оси вращения, которая является точкой опоры в случае качелей. Оба ребенка своим весом прикладывают силу, также известную как сила тяжести.Ребенок 1 пытается повернуть качели против часовой стрелки, а ребенок 2 пытается повернуть их по часовой стрелке. Пока величины двух крутящих моментов одинаковы, они компенсируют друг друга, поскольку они пытаются перемещать качели в противоположных направлениях.

Проблема тупика с качелями

Давайте рассмотрим пример расчета с использованием как вращательного равновесия, так и уравнения для крутящего момента.

Качели на изображении находятся в равновесии вращения и не двигаются.Мы хотим найти, как далеко ребенок 2 справа от оси вращения в точке опоры. Ребенок 1 слева имеет массу 38 кг и находится на расстоянии 4 м от точки опоры. Ребенок 2 имеет массу 25 кг.

Шаг 1: Учет направления

Чтобы математически показать, что два момента движутся в противоположных направлениях, одному из них присваивается отрицательный знак. Стандартной практикой является обозначение крутящего момента, вращающего объект по часовой стрелке, как отрицательного, поэтому мы сделаем T {2} отрицательным.Поскольку качели находятся в состоянии вращательного равновесия, мы также знаем, что сумма крутящих моментов должна равняться нулю. Это позволяет нам изменить уравнение, чтобы получить по одному крутящему моменту по обе стороны от знака равенства.

T {1} + (- T {2}) = 0

T {1} — T {2} = 0

T {2} = T { 1}

Шаг 2: Вставьте уравнения крутящего момента и силы

Затем мы подставляем уравнение для крутящего момента с каждой стороны.

F { g 2} * r {2} * sin ( theta {2}) = F { g 1} * r {1} * sin ( theta {1})

F { g 2} и F { g 1} — силы, возникающие под действием силы тяжести.Чтобы получить их, мы умножаем массу каждого ребенка на ускорение свободного падения ( г ).

m {2} * g * r {2} * sin ( theta {2}) = m {1} * g * r {1} * sin ( theta {1})

Шаг 3. Упростите уравнение

Теперь мы можем сделать несколько вещей, чтобы упростить это уравнение. Во-первых, поскольку g одинаково для каждого ребенка, и по обе стороны от знака равенства, он отменяется.Во-вторых, если мы посмотрим на изображение, то увидим, что силы тяжести перпендикулярны качелям. Это означает, что они перпендикулярны r {1} и r {2}. Таким образом, оба тета имеют значение 90 градусов. Помните, sin (90 градусов) = 1. Теперь у нас осталось следующее:

м {2} * r {2} = м {1} * r {1}

Шаг 4: Решите уравнение

Наконец, мы можем подключить наши данные, чтобы найти ответ для r {2}.

25 кг * r {2} = 38 кг * 4 м

25 кг * r {2} = 152 кг м

r {2} = 6 м

Ребенок 2 сидит 6 метрах от точки опоры. Для вращательного равновесия имеет смысл, что более легкий ребенок должен сидеть дальше от точки опоры, чем более тяжелый, чтобы балансировать на качелях.

Краткое содержание урока

Крутящий момент — это скручивающая сила, которая имеет тенденцию вызывать вращение. Точка вращения объекта известна как ось вращения .Математически крутящий момент может быть записан как T = F * r * sin ( theta ), и он имеет единицы измерения в Ньютон-метрах. Когда сумма всех крутящих моментов, действующих на объект, равна нулю, он находится в состоянии равновесия вращения . Крутящие моменты, действующие на один объект, компенсируют друг друга, когда они имеют равные величины и противоположные направления. Крутящий момент применяется не только к автомобилям; он также позволяет использовать такие объекты, как замки, дверные ручки, петли и даже качели.

Результаты обучения

Просмотрите урок и практикуйте уравнения, пока не будете готовы:

• Определить крутящий момент, вращательное равновесие и ось вращения
• Напомним уравнение для крутящего момента
• Рассчитать крутящий момент
• Вычислить значение r для объекта, находящегося в состоянии вращательного равновесия
• Перечислите некоторые примеры крутящего момента в повседневной жизни

Калькулятор крутящего момента

Этот калькулятор крутящего момента помогает определить крутящий момент, возникающий во вращающемся объекте.Что именно это за крутящий момент? Представьте себе объект, который может вращаться вокруг некоторой точки, называемой точкой поворота. Если вы приложите силу на некотором расстоянии от точки поворота, то даже если сила будет действовать по прямой линии, объект начнет вращаться. Продолжайте читать, если хотите узнать, как рассчитать крутящий момент и получить подробное объяснение формулы крутящего момента.

Уравнение крутящего момента

Крутящий момент (склонность объекта вращаться) зависит от трех различных факторов:

где:

• r — плечо рычага — расстояние между точкой поворота и точкой приложения силы;
• F — сила, действующая на объект;
• θ — угол между вектором силы и плечом рычага.Обычно он равен 90 °; и
• τ — крутящий момент. Единицы измерения крутящего момента — ньютон-метры (обозначение: Н · м).

Представьте, что вы пытаетесь открыть дверь. Точка поворота — это просто то место, где расположены петли. Чем ближе вы к петлям, тем большее усилие вы должны использовать. Однако если вы воспользуетесь ручкой, плечо рычага увеличится, и дверь будет открываться с меньшим усилием.

Не путайте это понятие с центробежной силой — центробежная сила направлена ​​к точке поворота параллельно плечу рычага.Такая сила не вызывает крутящего момента (вы можете проверить это, подставив в формулу крутящего момента угол 0 °).

Как рассчитать крутящий момент

1. Начните с определения силы, действующей на объект. Предположим, что F = 120 N .
2. Определитесь с длиной плеча рычага. В нашем примере r = 0,5 м .
3. Выберите угол между вектором силы и плечом рычага. Если он не равен 90 ° по умолчанию, откройте расширенный режим калькулятора, чтобы изменить его.Предположим, что θ = 90 ° . Используйте расширенный режим, чтобы изменить значение θ.
4. Введите эти значения в наш калькулятор крутящего момента. Он использует уравнение крутящего момента: τ = rFsin (θ) = 0,5 * 120 * sin (90 °) = 60 Н · м .
5. Калькулятор крутящего момента может также работать в обратном направлении, определяя силу или плечо рычага, если задан крутящий момент.

Если вы хотите узнать больше о концепции силы и втором законе Ньютона, попробуйте калькулятор ускорения.

Формула крутящего момента (момент инерции и угловое ускорение)

При вращательном движении крутящий момент требуется для создания углового ускорения объекта.Величина крутящего момента, необходимого для создания углового ускорения, зависит от распределения массы объекта. Момент инерции — это величина, описывающая распределение. Его можно найти путем интегрирования по массе всех частей объекта и их расстояниям до центра вращения, но также можно найти моменты инерции для общих форм. Крутящий момент на данной оси является произведением момента инерции и углового ускорения. Единицы крутящего момента — ньютон-метры (Н ∙ м).

крутящий момент = (момент инерции) (угловое ускорение)

τ = Iα

τ = крутящий момент вокруг определенной оси (Н ∙ м)

I = момент инерции (кг ∙ м ² )

α = угловое ускорение (радиан / с ² )

Формула крутящего момента Вопросы:

1) Момент инерции твердого диска равен, где M — масса диска, а R — радиус. Каждое колесо игрушечной машинки имеет массу 0.100 кг и радиус 20,0 см. Если угловое ускорение колеса составляет 1,00 радиан / с ² , каков крутящий момент?

Ответ: Крутящий момент можно найти с помощью формулы крутящего момента и момента инерции твердого диска. Крутящий момент:

τ = Iα

τ = 0,0020 Н ∙ м

Крутящий момент, прилагаемый к одному колесу, составляет 0,0020 Н ∙ м.

2) Момент инерции тонкого стержня, вращающегося на оси, проходящей через его центр, равен, где M — масса, а L — длина стержня.Предположим, что лопасть вертолета представляет собой тонкий стержень массой 150,0 кг и длиной 8,00 м. Какой крутящий момент требуется для достижения углового ускорения 18,00 радиан / с ² ?

Ответ: Крутящий момент можно найти с помощью формулы крутящего момента и момента инерции тонкого стержня. Крутящий момент:

τ = Iα

τ = 14 400 Н ∙ м

Требуемый крутящий момент составляет 14 400 Н ∙ м.

Крутящий момент и угловое ускорение | Безграничная физика

Взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением

Крутящий момент равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение.

Цели обучения

Выразите взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением в форме уравнения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Когда к объекту прикладывается крутящий момент, он начинает вращаться с ускорением, обратно пропорциональным его моменту инерции.
• Это соотношение можно рассматривать как второй закон Ньютона для вращения. Момент инерции — это вращательная масса, а крутящий момент — это вращательная сила.
• Угловое движение подчиняется Первому закону Ньютона. Если никакие внешние силы не действуют на объект, движущийся объект остается в движении, а неподвижный объект остается в покое.

Ключевые термины

• угловое ускорение : Скорость изменения угловой скорости, часто обозначаемая α.
• крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт)
• инерция вращения : Тенденция вращающегося объекта оставаться вращающимся, если к нему не приложен крутящий момент.

Крутящий момент и угловое ускорение связаны следующей формулой, где — момент инерции объекта, а [latex] \ alpha [/ latex] — угловое ускорение.

Крутящий момент, угловое ускорение и роль церкви во Французской революции : Почему вещи меняют свою угловую скорость? Скоро ты узнаешь.

Так же, как Второй закон Ньютона, согласно которому сила равна массе, умноженной на ускорение, крутящий момент подчиняется аналогичному закону.Если вы замените крутящий момент силой, а инерцию вращения — массой, а угловое ускорение — линейным ускорением, вы получите второй закон Ньютона. Фактически, это уравнение является вторым законом Ньютона, примененным к системе частиц, вращающихся вокруг данной оси. Он не делает никаких предположений о постоянной скорости вращения.

Чистый крутящий момент вокруг оси вращения равен произведению инерции вращения вокруг этой оси и углового ускорения, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 : Взаимосвязь между векторами силы (F), крутящего момента (τ), импульса (p) и углового момента (L) во вращающейся системе

Подобно Второму закону Ньютона, угловое движение также подчиняется Первому закону Ньютона.Если никакие внешние силы не действуют на объект, движущийся объект остается в движении, а неподвижный объект остается в покое. С вращающимися объектами мы можем сказать, что, если не будет приложен внешний крутящий момент, вращающийся объект будет продолжать вращаться, а объект в состоянии покоя не начнет вращаться.

Если бы поворотный стол вращался против часовой стрелки (если смотреть сверху), и вы приложили пальцы к противоположным сторонам, поворотный стол начал бы замедлять свое вращение. По крайней мере, с точки зрения поступательного движения, к поворотному столу не будет прилагаться результирующая сила.Сила, указывающая на одну сторону, будет отменена силой, указывающей на другую. Силы двух пальцев компенсируются. Следовательно, поворотный стол будет в поступательном равновесии. Несмотря на это, скорость вращения будет уменьшена, что означает, что ускорение больше не будет нулевым. Из этого мы можем заключить, что только потому, что вращающийся объект находится в поступательном равновесии, он не обязательно находится в вращательном равновесии.

Учебное пособие по крутящему моменту и вращательному движению

Что такое крутящий момент?

Крутящий момент — это мера того, какая сила, действующая на объект, заставляет этот объект вращаться.Объект вращается вокруг оси, которую мы назовем точкой поворота и обозначим буквой «O». Назовем силу «F». Расстояние от точки поворота до точки, в которой действует сила, называется плечом момента и обозначается буквой r. Обратите внимание, что это расстояние, «r», также является вектором и указывает от оси вращения до точки, в которой действует сила. (См. Рисунок 1 для графического представления этих определений.)

Крутящий момент определяется как \ (\ Gamma = r \ times F = rF \ sin (\ theta) \).

Другими словами, крутящий момент — это перекрестное произведение между вектором расстояния (расстояние от точки поворота до точки приложения силы) и вектором силы, где ‘a’ — угол между r и F.

Перекрестное произведение, также называемое векторным произведением, представляет собой операцию над двумя векторами. Перекрестное произведение двух векторов дает третий вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат первые два. То есть для креста двух векторов, A и B, мы размещаем A и B так, чтобы их хвосты находились в общей точке.Затем их перекрестное произведение A x B дает третий вектор, скажем C, хвост которого также находится в той же точке, что и у A и B. Вектор C указывает в направлении, перпендикулярном (или перпендикулярном) как A, так и B. Направление C зависит от правила правой руки.

Если мы допустим угол между A и B равным, тогда векторное произведение A и B может быть выражено как

\ (А \ раз В = А В \ грех (\ тета) \)

Если компоненты векторов A и B известны, то мы можем выразить компоненты их перекрестного произведения \ (C = A \ times B \) следующим образом

\ (C_x = A_yB_z — A_zB_y \)
\ (C_y = A_zB_x — A_xB_z \)
\ (C_z = A_xB_y — A_yB_x \)

Далее, если вы знакомы с определителями, \ (A \ times B , это

\ (A \ times B = \ Biggr | \ begin {matrix} i \ quad j \ quad k \\ A_x \; A_y \; A_z \\ B_x \; B_y \; B_z \ end {matrix} \ Biggr | \ )

Сравнивая рисунки CP1 и CP2, мы замечаем, что
\ (A \ times B = — B \ times A \)

Очень хорошее моделирование, которое позволяет вам исследовать свойства перекрестного произведения, доступно, щелкнув ЗДЕСЬ.Используйте кнопку «назад», чтобы вернуться в это место.

Используя правило правой руки , мы можем найти направление вектора крутящего момента. Если мы поместим пальцы в направлении r и согнем их в направлении F, то большой палец будет указывать в направлении вектора крутящего момента.

Вопрос

В каком направлении крутящий момент на этой диаграмме относительно точки поворота, обозначенной O?

Решение

Здесь мы предполагаем, что векторы силы F и плеча момента r изначально располагались «голова к голове» (то есть F указывал на стрелку r, а не на его точку поворота).Это показано на рисунке RHR 1. Однако, если перевести вектор силы в его положение на рисунке RHR 2, использование правила правой руки становится более очевидным.

Без этого пояснения можно интерпретировать рисунок RHR 2 как имеющий вектор силы, проходящий через точку поворота, и в этом случае крутящего момента не будет. Это связано с определением плеча момента, который представляет собой расстояние между точкой поворота и точкой, в которой действует сила. Если сила действует прямо на точку поворота, тогда r = 0, поэтому крутящего момента не будет.(Нулевое плечо момента — это все равно что пытаться открыть дверь, надавив на ее петли; ничего не происходит, потому что крутящий момент не возникает из-за приложенной силы.)

Вспомните использование правила правой руки при вычислении крутящего момента. Пальцы должны указывать в направлении первого вектора и загнуты в направлении второго вектора. В этом случае крутящий момент является перекрестным произведением плеча момента и крутящего момента. Таким образом, пальцы будут указывать в том же направлении, что и плечо момента, и изгибаться в направлении силы (по часовой стрелке).Направление большого пальца — это направление крутящего момента; в этом случае крутящий момент находится в экране.

При рисовании трехмерных диаграмм мы можем представлять «внутрь» и «выход» с помощью символов. Символ для «внутрь» (предполагается, что это конец стрелки), а для «из» — (это кончик стрелки).

Представьте, что вы толкаете дверь, чтобы открыть ее. Сила вашего толчка (F) заставляет дверь вращаться вокруг петель (точка поворота, O).Насколько сильно вам нужно толкать, зависит от расстояния, на котором вы находитесь от петель (r) (и некоторых других вещей, но давайте сейчас их проигнорируем). Чем ближе вы к петлям (т. Е. Чем меньше r), тем сложнее их толкать. Вот что происходит, когда вы пытаетесь открыть дверь не с той стороны. Крутящий момент, который вы создали на двери, меньше, чем если бы вы толкнули правильную сторону (от петель).

Обратите внимание, что приложенная сила F и плечо момента r не зависят от объекта.Кроме того, сила, приложенная к точке поворота, не вызовет крутящего момента, поскольку плечо момента будет равно нулю (r = 0).

Другой способ выразить вышеприведенное уравнение состоит в том, что крутящий момент является произведением величины силы и перпендикулярного расстояния от силы до оси вращения (то есть точки поворота).

Пусть сила, действующая на объект, разделена на тангенциальную (\ (F_ {tan} \)) и радиальную (\ (F_ {rad} \)) компоненты (см. Рисунок 2). (Обратите внимание, что тангенциальная составляющая перпендикулярна плечу момента, а радиальная составляющая параллельна плечу момента.) Радиальная составляющая силы не влияет на крутящий момент, поскольку проходит через точку поворота. Таким образом, только тангенциальная составляющая силы влияет на крутящий момент (поскольку она перпендикулярна линии между точкой действия силы и точкой поворота).

На объект может действовать более одной силы, и каждая из этих сил может воздействовать на разные точки на объекте. Тогда каждая сила вызовет крутящий момент. Чистый крутящий момент — это сумма отдельных крутящих моментов.

Вращательное равновесие аналогично поступательному равновесию, в котором сумма сил равна нулю. При вращательном равновесии сумма крутящих моментов равна нулю. Другими словами, на объект отсутствует чистый крутящий момент.

\ (\ сумма \ тау = 0 \)

Обратите внимание, что единиц крутящего момента в системе СИ — это ньютон-метр , который также является способом выражения джоуля (единицы энергии).Однако крутящий момент — это не энергия. Итак, чтобы избежать путаницы, мы будем использовать единицы N.m, а не J. Различие возникает из-за того, что энергия — это скалярная величина, а крутящий момент — это вектор.

Вот полезное и интересное интерактивное упражнение по вращательному равновесию. Используйте кнопку «НАЗАД», чтобы вернуться в это место. Щелкните ЗДЕСЬ, чтобы просмотреть действие.

Крутящий момент и угловое ускорение

В этом разделе мы разработаем взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением.Для этого раздела вам потребуется базовое понимание моментов инерции.

Момент инерции — вращательный аналог массы. Просмотрите определения, как описано в вашем учебнике.

В следующей таблице приведены моменты инерции для различных обычных тел. Буква M в каждом случае — это общая масса объекта.

Представьте себе силу F, действующую на некоторый объект на расстоянии r от его оси вращения.Мы можем разбить силу на тангенциальную (\ (F_ {tan} \)), радиальную (\ (F_ {rad} \)) (см. Рисунок 3). (Это предполагает двумерный сценарий. Для трех измерений — более реалистичная, но также более сложная ситуация — у нас есть три компонента силы: тангенциальная составляющая \ (F_ {tan} \), радиальная составляющая \ ( F_ {rad} \) и z-компонента \ (F_z \). Все компоненты силы взаимно перпендикулярны или нормальны.)

Из Второго закона Ньютона \ (F_ {tan} = m a_ {tan} \)

Однако мы знаем, что угловое ускорение \ (\ alpha \) и тангенциальное ускорение atan связаны соотношением:
\ (a_ {tan} = r \ alpha \)

Затем,

\ (F_ {tan} = m r ^ \ alpha \)

Если мы умножим обе части на r (плечо момента), уравнение станет

\ (F_ {tan} r = m r ^ {2 \ alpha} \)

Обратите внимание, что радиальная составляющая силы проходит через ось вращения и поэтому не влияет на крутящий момент.2 \) умноженное на угловое ускорение \ (\ alpha \).

\ (\ сумма \ тау = I \ cdot \ alpha \)

Если мы проведем аналогию между поступательным и вращательным движением, то эта связь между крутящим моментом и угловым ускорением аналогична Второму закону Ньютона. А именно, если принять крутящий момент, аналогичный силе, момент инерции, аналогичный массе, и угловое ускорение, аналогичное ускорению, тогда мы получим уравнение, очень похожее на Второй закон.

Пример проблемы: распашная дверь

Вопрос

Спеша поймать такси, вы выбегаете через дверь без трения на тротуар. Сила, которую вы приложили к двери, составила 50 Н, приложенная перпендикулярно плоскости двери. Ширина двери 1.0м. Предполагая, что вы толкнули дверь за край, каков был крутящий момент на распашной двери (принимая петлю в качестве точки поворота)?

Подсказки

1. Где точка поворота?
2. Какая сила была приложена?
3. Как далеко от точки поворота была приложена сила?
4. Какой угол между дверью и направлением силы?

Точка поворота находится на петлях двери, напротив того места, где вы толкали дверь.Сила, которую вы использовали, составила 50 Н на расстоянии 1,0 м от точки поворота. Вы попадаете в дверь перпендикулярно ее плоскости, поэтому угол между дверью и направлением силы составляет 90 градусов.

Так как
\ (\ tau = r \ times F = r F \ sin (\ theta) \)

, то крутящий момент на двери был:
\ (\ tau = (1.0m) (50N) \ sin (90) \)
\ (\ tau = 50 Nm \)

Обратите внимание, что это только величина крутящего момента; Чтобы получить ответ, нам нужно найти направление крутящего момента.Используя правило правой руки , мы видим, что направление крутящего момента выходит за пределы экрана.

Расчет крутящего момента на примерах

При изучении того, как объекты вращаются, быстро становится необходимым выяснить, как данная сила приводит к изменению вращательного движения. Тенденция силы вызывать или изменять вращательное движение называется крутящим моментом, и это одна из наиболее важных концепций, которые необходимо понимать при разрешении ситуаций, связанных с вращательным движением.

Значение крутящего момента

Крутящий момент (также называемый моментом — в основном инженеры) рассчитывается путем умножения силы на расстояние.Единицы измерения крутящего момента в системе СИ — это ньютон-метры или Н * м (даже если эти единицы такие же, как джоули, крутящий момент — это не работа или энергия, поэтому должны быть просто ньютон-метры).

В расчетах крутящий момент обозначается греческой буквой тау: τ .

Крутящий момент является векторной величиной, то есть имеет как направление, так и величину. Честно говоря, это одна из самых сложных частей работы с крутящим моментом, потому что она рассчитывается с использованием векторного произведения, что означает, что вам нужно применить правило правой руки.В этом случае возьмите правую руку и согните пальцы руки в направлении вращения, вызванного силой. Большой палец правой руки теперь указывает в направлении вектора крутящего момента. (Иногда это может показаться немного глупым, когда вы держите руку вверх и изображаете из себя, чтобы вычислить результат математического уравнения, но это лучший способ визуализировать направление вектора.)

Векторная формула, которая дает вектор крутящего момента τ :

τ = r × F

Вектор r является вектором положения относительно начала координат на оси вращения (эта ось — τ на графике).Это вектор с величиной расстояния от точки приложения силы до оси вращения. Он указывает от оси вращения к точке приложения силы.

Величина вектора вычисляется на основе θ , что представляет собой разность углов между r и F , используя формулу:

τ = rF sin ( θ )

Особые случаи крутящего момента

Несколько ключевых моментов по поводу приведенного выше уравнения с некоторыми контрольными значениями θ :

• θ = 0 ° (или 0 радиан) — вектор силы направлен в том же направлении, что и r .Как вы могли догадаться, это ситуация, когда сила не вызывает вращения вокруг оси … и математика это подтверждает. Поскольку sin (0) = 0, эта ситуация дает τ = 0.
• θ = 180 ° (или π радиан) — это ситуация, когда вектор силы указывает прямо на r . Опять же, толкание к оси вращения не вызовет никакого вращения, и, опять же, математика поддерживает эту интуицию.Поскольку sin (180 °) = 0, значение крутящего момента снова равно τ = 0.
• θ = 90 ° (или π /2 радиан) — Здесь вектор силы перпендикулярен вектору положения. Это кажется наиболее эффективным способом, которым вы могли бы надавить на объект, чтобы увеличить вращение, но поддерживает ли это математика? Итак, sin (90 °) = 1, что является максимальным значением, которого может достичь функция синуса, что дает результат τ = rF . Другими словами, сила, приложенная под любым другим углом, обеспечит меньший крутящий момент, чем когда она приложена под углом 90 градусов.
• Те же аргументы, что и выше, применимы к случаям θ = -90 ° (или — π /2 радиан), но со значением sin (-90 °) = -1, что приводит к противоположному максимальному крутящему моменту. направление.

Пример крутящего момента

Давайте рассмотрим пример, в котором вы прикладываете вертикальную силу вниз, например, когда пытаетесь ослабить гайки проушины на спущенной шине, наступив на гаечный ключ. В этой ситуации идеальная ситуация — иметь гаечный ключ в горизонтальном положении, чтобы вы могли наступить на его конец и получить максимальный крутящий момент.К сожалению, это не работает. Вместо этого гаечный ключ устанавливается на гайки так, чтобы угол наклона 15% к горизонтали. Длина гаечного ключа составляет 0,60 м до конца, к которому вы прикладываете полный вес в 900 Н.

Какая величина крутящего момента?

Как насчет направления ?: Применяя правило «левый-свободный, правый-плотный», вам нужно, чтобы гайка-проушина вращалась влево — против часовой стрелки — для того, чтобы ослабить ее. Используя правую руку и согнув пальцы против часовой стрелки, большой палец высовывается наружу.Таким образом, направление крутящего момента — от шин … это также направление, в котором вы хотите, чтобы гайки в конечном итоге двигались.

Чтобы начать вычислять значение крутящего момента, вы должны понять, что в приведенной выше настройке есть немного вводящий в заблуждение момент. (Это обычная проблема в таких ситуациях.) Обратите внимание, что упомянутые выше 15% — это наклон от горизонтали, но это не угол θ . Угол между r и F должен быть вычислен.Наклон 15 ° от горизонтали плюс расстояние 90 ° от горизонтали к вектору направленной вниз силы, в результате получается в сумме 105 ° как значение θ .

Это единственная переменная, которая требует настройки, поэтому с ней мы просто присваиваем другие значения переменных:

• θ = 105 °
• r = 0,60 м
• F = 900 Н

τ = rF sin ( θ ) =
(0.60 м) (900 Н) sin (105 °) = 540 × 0,097 Нм = 520 Нм

Обратите внимание, что в приведенном выше ответе были сохранены только две значащие цифры, поэтому он округлен.

Крутящий момент и угловое ускорение

Приведенные выше уравнения особенно полезны, когда на объект действует единственная известная сила, но есть много ситуаций, когда вращение может быть вызвано силой, которую нелегко измерить (или, возможно, множеством таких сил). Здесь крутящий момент часто не рассчитывается напрямую, а вместо этого может быть рассчитан относительно общего углового ускорения α , которому подвергается объект.Это соотношение задается следующим уравнением:

• Σ τ — Чистая сумма всех крутящих моментов, действующих на объект
• I — момент инерции, который представляет сопротивление объекта изменению угловой скорости
• α — угловое ускорение

Рычаги и момент

Рычаги и крутящий момент

Теория

используют крутящий момент, чтобы помочь нам поднимать или перемещать объекты. Крутящий момент крест произведение силы на расстояние от точки опоры (центральной точки о котором крутится система). Перекрестное произведение берет только компонент сила, действующая перпендикулярно расстоянию. С помощью тригонометрии определяется крутящий момент. как:

Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × sin (θ)

Помните, что работа также была силой, умноженной на расстояние, но это была точка произведение и использовал косинус угла между силой и расстоянием: сила × расстояние × cos (θ).

В этой лаборатории сила будет перпендикулярна (90 °) расстоянию. В синус 90 ° равен единице, поэтому крутящий момент будет:

Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × sin (θ)
Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × sin (90 °)
Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × 1
Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры

Процедура, сбор данных и расчеты

Пробный рычаг I класса: d

В рычаге класса 1 точка опоры находится между силой сопротивления (F _r ) и сила усилия (F _e ).В классе один рычаг сила усилие (F _e ), умноженное на расстояние усилия от точки опоры (d _e ) равна силе сопротивления (F _r ), умноженной на расстояние сопротивление от точки опоры (d _r ). Усилие и сопротивление продолжаются. противоположные стороны точки опоры. Плоскогубцы являются примером рычага первого класса.

На диаграмме масса обеспечивает сопротивление, пружинная шкала измеряет наше сопротивление. усилия. Пружинная шкала откалибрована в граммах.Граммы — это не единица измерения силы как таковой, но в этой лаборатории мы будем использовать термин «грамм-сила» как сила, действующая на один грамм у поверхности Земли за счет ускорения свободного падения. Один «грамм-сила» будет эквивалентна 980 см / сек ² (дин).

Для диаграммы: F _e × d _e = F _r × d _r
Механическое преимущество = F _r / F _e

1. Повесьте 200 грамм массы на 10 см, подвесьте пружинную шкалу на отметке 90 см, подвесьте измерительную линейку на отметке 50 см.
2. Найдите F _e , d _e , F _r , d _r в граммах силы. К Определите грамм-силу массы (F _r ) с помощью весов балансира. d _e и d _r при правильной настройке должно быть 40 см. F _e можно прочитать по Весенняя граммовая шкала напрямую.
3. Вычислить F _e × d _e и F _r × d _r .
4. Укажите, является ли F _e × d _e = F _r × d _r .
5. Рассчитайте механическое преимущество F _r / F _e .

Класс I Испытание рычагов два: d

Для диаграммы: F _e × d _e = F _r × d _r
Механическое преимущество = F _r / F _e

1. Переключите массы на массу 500 грамм или две 200-граммовые гирьки все вместе.
2. Поместите груз массой 500 грамм на отметку 10 см, а шкалу пружины на отметку 90 см, подвесьте метр от отметки 30 см.
3. Найдите F _e , d _e , F _r , d _r в граммах силы.
4. Вычислить F _e × d _e и F _r × d _r .
5. Укажите, является ли F _e × d _e = F _r × d _r .
6. Рассчитайте механическое преимущество F _r / F _e .

Рычаги класса II

В рычаге второго класса сопротивление находится между силой усилия и точка опоры.В рычаге класса два сила усилия, умноженная на расстояние усилие от точки опоры противоположно и равно силе сопротивления умноженное на расстояние сопротивления от точки опоры. Усилия и Сопротивления находятся с одной стороны от точки опоры, но направлены в противоположные стороны.

Расстояние усилия (также иногда называемое «рычагом усилия») на длиннее чем расстояние сопротивления.

Тачки и гигантские столбы для копания таро (когда мы отжимаемся на шесте) являются примерами рычаги второго класса.

Обратите внимание, что наш выбор пуха как положительного в первой части лабораторной работы означает, что up теперь отрицательный в этом разделе. Итак, F _e — отрицательная сила. Запишите F _e как отрицательное в таблице, а затем -F _e × d _e будет будь позитивным.

Для диаграммы: -F _e × d _e = F _r × d _r
Механическое преимущество = | F _r / F _e | где | означает «абсолютный значение. «Механическое преимущество всегда положительно.

1. Переместите гирю 500 грамм (или две гири по 200 грамм) примерно на 30 см. Отметьте метку и пружинную шкалу на отметке 90 см, подвесьте измерительную штангу на отметке 10 см. Возможно, вам придется отрегулировать положение вашей массы в соответствии с возможностями вашего пружинная шкала для обеспечения точных показаний. Вы не хотите читать очень маленькие граммовые силы или граммовые силы слишком большие для вашей пружинной шкалы. Если вы отрегулируете положения, не забудьте измерить фактические d _e и d _r , которые вы используете!
2. Найдите F _e , d _e , F _r , d _r в граммах силы.
3. Вычислить F _e × d _e и F _r × d _r .
4. Укажите, является ли -F _e × d _e = F _r × d _r .
5. Рассчитайте механическое преимущество F _r / F _e .

Рычаги класса III

В рычаге третьего класса сопротивление находится между силой усилия и точка опоры. В рычаге третьего класса сила усилия, умноженная на расстояние усилия от точки опоры противоположны и равны силе сопротивления умноженное на расстояние сопротивления от точки опоры.Усилия и Сопротивления находятся с одной стороны от точки опоры, но направлены в противоположные стороны.

Расстояние усилия (также иногда называемое «рычагом усилия») на короче чем расстояние сопротивления.

Для диаграммы: -F _e × d _e = F _r × d _r
Механическое преимущество = | F _r / F _e | где | означает «абсолютный значение. «Механическое преимущество всегда положительно.

1. Перейти на массу 100 грамм.
2. Переместите гирю 100 грамм на отметку 90 см, а шкалу пружины примерно на отметку 65 см. см до отметки 70 см, удерживая измерительную линейку подвешенной на отметке 10 см. Снова при необходимости отрегулируйте шкалу пружины и положение масс, чтобы получить точные показания Весенняя шкала.
3. Найдите F _e , d _e , F _r , d _r в граммах силы.
4. Вычислить F _e × d _e и F _r × d _r .
5. Укажите, является ли -F _e × d _e = F _r × d _r .
6. Рассчитайте механическое преимущество F _r / F _e .

В рычаге класса III механическое преимущество можно назвать механическим. недостаток. Почему? (Предложение: подумайте о силе усилия, меньше силы сопротивления или больше силы сопротивления?)

Обратите внимание, что нижняя часть руки человека является рычагом третьего класса: бицепс, прикрепленный чуть ниже локоть, можно использовать для поднятия груза, удерживаемого в руке в конце нижнего рука.

Рычаги непрерывного действия: Отвертки

Отвертка на самом деле представляет собой форму рычага, в которой ручка с большим радиусом обеспечивает механическое преимущество при повороте лезвия с меньшим радиусом. Всевозможные циркулярные устройства используют эту форму механического преимущества. Круглые ручки водяного клапана, шина утюги, торцевые ключи, гаечные ключи и многие другие предметы используют это время круговой рычаг.

Измерьте радиус ручки отвертки, а затем измерьте радиус лезвие.Рассчитайте механическое преимущество: d _e / d _r .

Обратите внимание, что механическое преимущество круглого устройства снижается, в то время как механическое. нареч. для рычага было Fr / Fe. Обратите внимание, что кажущийся «триггер» дроби не ошибка.

Считаем, что F _e × d _e = F _r × d _r . Крест деление на F _e и d _r дает:

 d  e  = F  r 
- - = механическое преимущество
d  r  F  e  

SC 130 Домашняя страница
Домашняя страница курсов Ли Линга
На домашнюю страницу COM-FSM